Главная > Помехоустойчивое кодирование > Кодирование информации (двоичные коды)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Матричное представление циклических кодов

Циклический код, как и всякий систематический код, однозначно определяется подобранными определенным образом исходными кодовыми комбинациями. Эти комбинации записываются в виде производящей матрицы, состоящей из строк и столбцов.

Для формирования строк производящей матрицы по первому способу образования циклического кода берут не произвольные комбинации неизбыточного кода а лишь те из них, которые содержат единицу в одном разряде где

Именно эти комбинации умножаются на и находится остаток от деления равный Соответствующая строка матрицы записывается в виде При этом вся матрица разбивается на две подматрицы (см. § 3.3): где единичная транспонированная матрица; подматрица с числом столбцов и строк образованная остатками от деления Такой способ дает возможность получить сразу производящую матрицу в каноническом виде.

Производящая матрица дает возможность получить первые комбинаций кода. Остальные комбинаций получаются суммированием по модулю два строк производящей матрицы во всех возможных сочетаниях. Последняя комбинация кода является нулевой.

Пример. Дано

Необходимо построить производящую матрицу. Поскольку возьмем единичные векторы Произведем необходимые операции в вектором учитывая, что

Произведя деление, находим остаток Следовательно, первая строка матрицы 0001011. После аналогичных операций с имеем

Окончательно получим следующую производящую матрицу в каноническом виде:

Дополнительную матрицу можно еще построить по остаткам деления последней строки единичной транспонированной матрицы, дополненной -нулями, на выбранный образующий полином:

Если в процессе деления после при писывания к остатку очередного нуля получается число, у которого количество разрядов меньше, чем у делителя, остаток получается путем приписывания нуля к предыдущему остатку справа.

Строки полученной матрицы являются четырьмя первыми комбинациями кода. Пятая комбинация является нулевой. Остальные 11 комбинаций найдем суммированием по модулю два всевозможных сочетаний строк производящей матрицы. Полученные разрешенные кодовые комбинации приведены в табл. 30.

Таблица 30 (см. скан)

При втором способе образования циклического кода производящая матрица формируется путем умножения образующего полинома степени на одночлен и последующих сдвигов полученной комбинации. Получающиеся при этом кодовые комбинации обладают свойствами цикличности, однако информационные и проверочные символы в них не разделены.

Необходимо отметить, что при построении производящей матрицы циклического кода каждый код можно представить в различных вариантах, которые отличаются друг от друга длиной количеством информационных элементов а также пропускной способностью при одинаковых корректирующих характеристиках. Эти варианты так называемых укороченных циклических кодов получаются вычеркиванием некоторого

количества последних строк и такого же количества столбцов слева в образующей матрице При этом число проверочных элементов остается неизменным, а длина кода и число информационных элементов уменьшаются соответственно на количество, равное числу вычеркнутых строк и столбцов.

Так. если в образующей матрице

вычеркнуть шесть последних строк и шесть первых слева столбцов, получим образующую матрицу укороченного циклического кода:

Характеристика укороченного кода остается такой же, как и в -коде.

Пример. Построить производящую матрицу Образующий полином имеет вид Первую строку матрицы получаем из выражения последующие строк — путем циклического сдвига полученной комбинации. Таким образом, производящая матрица

В циклических кодах, как и во всех систематических, процесс кодирования сводится к определению проверочных разрядов на основании известных информационных. Каждый проверочный разряд находим с помощью проверочного соотношения, а определение всех проверочных разрядов требует проверочных соотношений, которые записываются одно под другим в виде проверочной матрицы Я. В циклических кодах проверочная матрица может быть найдена кроме известного способа построения (§ 3.3) с помощью так называемого проверочного полинома:

где полином, сопряженный с образующим полиномом или обратный ему (подробнее см. § 4.4).

В сопряженных полиномах члены расположены в обратном порядке. Так, полиномы 1101 и 1011 являются сопряженными. Если полином представить в виде комбинации то проверочную матрицу можно построить следующим образом. Первая строка матрицы представляет собой комбинацию полинома дополненную -нулями. Последующие строк матрицы строятся путем циклического сдвига первой строки. При таком построении проверочная матрица имеет вид

Проверочная матрица, построенная в § 3.3, внешне может отличаться от матрицы, построенной с помощью проверочного полинома. Однако обе матрицы всегда могут быть сведены к одному виду.

Пример. Дано Необходимо построить проверочную матрицу с помощью проверочного полинома.

Находим проверочный полином

Следовательно, проверочная матрица

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление