Главная > Помехоустойчивое кодирование > Коды, исправляющие ошибки
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. Векторные пространства и линейные алгебры

Множество V называется векторным пространством над полем если для него выполняются следующие аксиомы.

Аксиома V. 1. Множество V является абелевой аддитивной группой.

Аксиома V. 2. Для любого вектора и любого элемента поля с определено произведение являющееся вектором (элементы поля называются скалярами).

Аксиома V. 3 (дистрибутивный закон). Если векторы из множества V, а с — скаляр, то

Аксиома V. 4 (дистрибутивный закон). Если вектор, а с и d - скаляры, то

Аксиома V. 5 (ассоциативный закон). Если вектор, а с и d - скаляры, то

Множество А называется линейной ассоциативной алгеброй над полем если выполняются следующие аксиомы:

Аксиома А. 1. Множество А является векторным пространством над

Аксиома А. 2. Для любых двух элементов из А существует произведение определяемое как некоторый элемент из А.

Аксиома А. 3 (ассоциативный закон). Для любьнс трех элементов из А произведение

Аксиома А. 4 (билинейный закон). Если с и скаляры из векторы из А, то и

Последовательностью длины элементов поля называется упорядоченное множество из элементов поля, обозначаемое где каждый из является элементом поля. Сложение последовательностей длины определяется следующим образом:

Умножение последовательности длины на элемент поля определяется правилом

Если определены эти две операции, то, как легко проверить, совокупность всех последовательностей длины а над полем образует векторное пространство. Такие векторные пространства занимают центральное место в теории кодирования. Они и являются основным предметом изучения остальной части данной главы.

Умножение последовательностей длины может быть определено следующим образом:

Введение этой операции превращает совокупность последовательностей в линейную алгебру. Определенное таким образом умножение используется довольно редко. Другой способ умножения последовательностей, приводящий к линейной алгебре, описывается в гл. 6. Он играет более важную роль в теории кодирования.

Единичный элемент векторного пространства будем обозначать тем же символом 0, который используется для обозначения нулевого элемента в поле. (Из контекста будет ясно, означает символ 0 вектор или скаляр.) В совокупности всех последовательностей длины

Для совокупности последовательностей очевидно, а в случае произвольного векторного пространства легко проверить, что для любого

вектора произведение и для любого скаляра с произведение Кроме того, так как

Подмножество векторного пространства называется подпространством, если оно удовлетворяет аксиомам векторного пространства. Для того чтобы проверить, является ли некоторое подмножество векторного пространства подпространством, необходимо проверить только замкнутость этого подмножества относительно операций сложения и умножения на скаляр. Заметим, что так как то замкнутость относительно умножения на скаляр показывает, в частности, что элемент, обратный к каждому из элементов подмножества, принадлежит подмножеству. Поэтому замкнутости подмножества относительно операции сложения достаточно для того, чтобы подмножество было подгруппой; ассоциативный и дистрибутивный законы должны быть справедливы в подпространстве, если они справедливы в первоначальном векторном пространстве.

Линейной комбинацией векторов называется сумма вида

Здесь скаляры, т. е. элементы поля.

Теорема 2.5. Совокупность всех линейных комбинаций некоторого набора векторов из векторного пространства V является подпространством пространства

Доказательство. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из V является снова вектором из Если совокупность всех линейных комбинаций векторов обозначить и если любые два элемента из то элемент и также принадлежит 5, так как того, любое произведение на скаляр, принадлежит 5. Поскольку множество замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр, то оно является подпространством векторного пространства V. Ч. т. д.

Совокупность векторов называется линейно зависимой тогда и только тогда, когда существуют скаляры не все равные нулю, такие, что

Совокупность векторов называется линейно независимой. если она не является линейно зависимой. Говорят, что некоторая совокупность векторов порождает векторное пространство, если каждый вектор векторного пространства представим в виде линейной комбинации векторов этой совокупности.

Теорема 2.6. Если совокупность векторов порождает векторное пространство, которое содержит некоторую совокупность из линейно независимых векторов то

Доказательство. Поскольку векторы порождают пространство, вектор их может быть представлен как линейная комбинация векторов Получившееся соотношение можно разрешить относительно какого-нибудь одного из скажем, выразив его через и остальные Если для исключения использовать его выражение через и другие то любая линейная комбинация элементов будет представлена как линейная комбинация их и всех векторов кроме следовательно, совокупность, содержащая и, и все векторы кроме порождает векторное пространство. Поэтому можно представить как линейную комбинацию и всех за исключением Так как векторы линейно независимы, то по крайней мере один из векторов должен войти в линейную комбинацию с ненулевым коэффициентом, и поэтому этот элемент может быть представлен как линейная комбинация и оставшихся векторов Следовательно, эти векторов порождают пространство. Этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока не будут использованы все векторов и так как на каждом шагу замещается один из векторов то число векторов должно быть по крайней мере не меньше числа векторов

Теорема 2.7. Если два множества линейно независимых векторов порождай одно и то же пространство, то в каждом из множеств содержится одно и то же число векторов.

Доказательство. Если в одном множестве векторов и векторов — в другом, то по теореме так что

В любом пространстве число линейно независимых векторов, порождающих пространство, называется размерностью пространства. Совокупность линейно независимых векторов, порождающих -мерное пространство, называется базисом пространства. Из теоремы 2.7 следует, что любая совокупность, содержащая более чем векторов из -мерного векторного пространства, линейно зависима. Из теоремы 2.6 следует, что не существует совокупности менее чем из векторов, порождающей -мерное пространство.

Теорема 2.8. Если V есть -мерное векторное пространство, то любая совокупность из линейно независимых векторов, принадлежащих V, является базисом

Доказательство. Пусть совокупность линейно независимых векторов из Если они не порождают пространство V, то должен существовать некоторый элемент из V, который нельзя представить в виде линейной комбинации векторов Поэтому совокупность векторов из пространства V является линейно независимой. Это противоречит теореме и поэтому векторы должны порождать пространство V. Ч. т. д.

Теорема 2.9. Если векторное пространство содержится в векторном пространстве и оба пространства имеют одну и ту же размерность то эти пространства совпадают.

Доказательство. Базис пространства является совокупностью линейно независимых векторов в пространстве Следовательно, каждый вектор из принадлежит также

Скалярным произведением двух последовательностей длины называется скаляр, определяемый как

Легко показать, что и что Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то говорят, что эти векторы ортогональны,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление