Главная > Математика > Элементарная теория чисел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Критерий Лежандра; теоремы Валена и Бореля.

Лежанцр ("Essai sur la theorie des nombres" 39, стр. 20) дал критерий для суждения о том, когда данная несократимая дробь будет одною из подходящих дробей в разложении заданного числа х. Считая положим и разложим в непрерывную дробь с четным или нечетным числом неполных частных, смотря по тому, будет ли или пусть будет предпоследняя подходящая дробь в этой непрерывной дроби. Для того чтобы была подходящей дробью к х,

необходимо и достаточно, чтобы самом деле, если то, полагая имеем по (14):

откуда в т. е. разложение совпадает с указанным выше разложением в непрерывную дробь. Следовательно, и (17) дает Обратно, при выполнении неравенства обозначим через указанное выше разложение в непрерывную дробь, так что Определяя величину из уравнения имеем и из неравенства получим в связи с равенством это показывает, что есть полное частное, а — подходящая дробь в разложении Так как то неравенство Лежандра будет во всяком случае выполнено, т. е. если Итак, если то — есть подходящая дробь к числу х. Это замечание наводит на следующий вопрос: как часто в данной непрерывной дроби х встречаются подходящие дроби отличающиеся от х менее чем на Ответ на этот вопрос дает теорема Валена 84: из двух последовательных подходящих дробей одна по крайней мере удовлетворяет неравенству Так как подходящие дроби лежат по разные стороны от числа х, то при

мы имели бы или что при невозможно. Теорема доказана.

Еще большую степень приближения подходящей дроби указывает теорема Бореля: из трех последовательных подходящих дробей крайней мере удовлетворяет неравенству

В противном случае из получаем на основании (14)

Первые два из этих неравенств по замене х через дают для величин и такие следствия: Отсюда

и, по симметрии, Итак,

Последние два из неравенств (19) аналогично дают

Из неравенств (20) и (21) последовательно выводим: что вместе с (20) дает невозможный результат: Теорема Бореля доказана.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление