Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 12б. Задача о клипе, ортогонально пересекающемся с поверхностью вращения.

В частном случае, когда и соотношение (5.63) удовлетворено, решение уравнений (5.66) и (5.67) можно получить в весьма простой форме. Пусть и сопряженные функции, которые должны быть подвергнуты вращению. Выберем новые ортогональные

координаты так, что

Обозначая чороз радиус вращения некоторой точки, будем, согласно соотношению (5.63), иметь

Если положить и уравнениях (5.66) и (5.67), то, как нетрудно убедиться посредством подстановки, решениями этих уравнений будут

и

Соответствующие дифференциальные уравнения — уравнения второго порядка, поэтому каждое из них должно иметь еще одно решение. Поскольку метод нахождения второго решения по одному известному решению может оказаться полезным не только в рассматриваемом случае, выведем его здесь в общем виде. Предположим, что есть частное решение уравнения

где функции х. Подставляй в это уравнение, обозначая и исключая при помощи уравнения (5.76), получаем

Умножая на и интегрируя, будем иметь

или

Интегрирование дает

так что

В рассматриваемом случае, выполнив дифференцирование и умножив на можно привести уравнения (5.66) и (5.67) к виду (5.76), тогда будет равно

Принимая равным выраженшо (5.74) пли (5.75), получаем при помощи формулы (5.77) при вторые решения

и

Следовательно, решение уравнения Лапласа можно записать в виде

Решение в такой форме удобно, в частности, когда поверхность заряженного проводника образована поверхностью вращения и клином, ребро которого лежит на оси вращения.

Применение полученного решения можно проиллюстрировать простым примером. Пусть бесконечный проводящий заряженный клин, внешний угол которого равен а, имеет сферическую выпуклость радиуса а, пересекающую обе его стороны под прямым углом. Тогда, взяв центр сферы за начало координат и расположив стороны клина под углами будем иметь граничные условия выполняются, если выбрать

Таким образом, получаем

Эта формула дает на поверхности клина и сферы, а вдали от начала координат совпадет с решением § 20 гл. IV.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление