Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 22в. Выражение функций Лежандра второго рода через полиномы Лежандра.

Полезное выражение для можно получить из уравнения Лежандра, если известно, что является его решением. Из уравнений (5.76) и (5.77) следует, что если является одним из решений дифференциального уравнения

где — функции х, то второе его решение будет

Для уравнения Лежандра так что или и формула (5.155) принимает вид

Чтобы определить постоянные положим Интегрируя при помощи формул (140) и (152.1) справочника Двайта и используя приведенное там же разложение (601.2), получим

Из формул (5.144) и (5.145) следует, что для величин выражения (5.106) и (5.107), будем иметь

Таким образом, общая формула для имеет вид

в частности

и

Используя формулу (5.149), получим

Повторное применение формулы (5.149) дает

Это выражение справедливо при Общее решение уравнения Лежандра будет

Если положить и подставить в решение (5.160), то

Следовательно, при в качестве формулы, определяющей можно принять

Полагая и используя разложение (Двайт, 601.3), получаем, что определенные таким образом выражения для величин совпадают с (5.147).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление