Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 24б. Интегралы от произведений присоединенных функции.

Уравнение (5.92) показывает, что при

Благодаря наличию произведения тригонометрических функций этот интеграл равен нулю и в том случае, если целое число и независимо от значений (см. Двайт, 435, 445 и 465).

Чтобы определить значение интеграла (5.192) при необходимо вычислить интеграл от квадрата по поверхности сферы единичного радиуса.

Используя для выражения (5.182) и (5.115), получим при помощи интегрирования по частям

Повторим интегрирование по частям, полагая каждый раз

Произведение обращается в пуль на границах интервала, поскольку содержит множитель при при Поэтому после (то ) - кратного интегрирования по частям получим

Так как степень при дифференцировании понижается, второй множитель в подинтегральном выражении оказывается, очевидно, постоянным. Поэтому, сохраняя лишь наивысшую степень и заменив на получим, что этот множитель равен

Весь интеграл с учетом формул (5.126) и (5.127) оказывается рапным

При из формулы (5.192) следует

В случае то весьма полезным является следующее интегральное соотношение:

Для доказательства этой формулы запишем уравнение (5.178), обозначив сначала а потом умножим первое уравнение на у, второе — на у, вычтем и проинтегрируем от — 1 до +1. Для интегрирования в случае перенесем средний член уравнения (5.205)

в правую часть, возведем в квадрат, заменим всюду на умножим на и исключим из результата при помощи уравнения (5.208), возведенного в квадрат и умноженного на При интегрировании от — 1 до +1 все члены, не содержащие интегрируются согласно формуле взаимно уничтожаются; в результате остается

Подставляя по формуле (5.190) и интегрируя (см. Двайт, 854.1), находим

При применении вектор-потенциала нам придется пользоваться свойствами ортогональности поверхностных векторных функций определяемых соотношением

Интегрирование скалярного произведения двух таких функций дает

Заменяя второй член при иомоши уравнения (5.178) и группируя члены, находим

Согласно формулам (5.192) и (5.194), результат равен нулю при и равен

при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление