Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 30г. Решение уравнения Бесселя.

Положим в уравнении тогда

и, следовательно,

Если коэффициент конечен, то коэффициенты д. равны нулю. Пусть что сводится к при целых Тогда, применяя последовательно формулу (5.313) и заменив на получим

Функция носит название функции Бесселя первого рода порядка. Очевидно, что при как будет показано в § 31г,

Поскольку дифференциальное уравнение (5.302) второго порядка, оно должно иметь еще второе решение. В случае, когда — не целое число, решением будет но когда целое число, решения не являются независимыми. Чтобы показать это, заменим на в выражении (5.314); тогда, так как ряды для совпадают. Когда не целое число, второе решение дается формулой

Если целое число, то формула (3.315) дает Для раскрытия неопределенности заменим в выражении на разобьем сумму по от О до на две суммы - от до и от 0 до заменим в первой на и во второй на (Двайт, 850.3).

Если подставить полученное выражепне в формулу (5.315) вместо и заменить на то будем иметь

Согласно выражению (5.314), скобка обращается в нуль при так что первый член опять дает Чтобы раскрыть неопределенность, продифференцируем каждый множитель по и подставим вместо Воспользовавшись справочником Янке и Эмде (стр. 108), находим

где — постоянная Эйлера. При помощи этой форму а также формулы (563.3) из справочника Двайта неопределенность раскрывается; если обозначить через то

Общее решение уравнения Бесселя, когда целое число, имеет, таким образом, вид

Отметим, что функция обращается в бесконечность; в § 31г будет показано, что функция обращается в нуль. Для функции, определяемой формулой (5.316), существует много обозначений. В книге Ватсона и British Association Tables используется Янке и Эмде, Щелкунов и Стрэттон пользуются Грэй, Метьюз и Макроберт —

Подстановка в уравнение (5.76) приводит к уравнению (5.302), так что, если известное решение, формула (5.77) дает

Дифференцируя это равенство и опуская аргумент, получаем

Согласно рекуррентным формулам, - величина В не зависит ни от ни от следовательно, может быть вычислена для простейшего случая и малых В зтом случае в выражении (5.316) существенен только логарифмический член; этим членом и его производной можно заменить в уравнении (5.319). При подстановке логарифмический член сокращается, и величина В оказывается равной так что уравнение (5.319) принимает вид

Для цилиндрических электромагнитных волн пользуются функциями Ханкеля

которые в комбинации с дают бегущие волны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление