Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 33д. Функция Грина для кольцевой цилиндрической полости.

В качестве примера использования модифицированных бесселевых функции вычислим потенциал, обусловленный маленьким зарядом расположенным в точке внутри цилиндрической кольцевой полости с проводящими стенками, уравнения которых суть Частвый случай, соответствует цилиндрической полости, для которой в § 30к было получено решение, содержащее бесселевы функции.

Поскольку ни ни не имеют действительных корней, для получения функции, обращающейся в нуль при заданном значении потребуется, очевидно, их комбинация. Ясно, что искомая функция имеет вид

Так как эта функция обращается в нуль, вообще говоря, лишь при одном значении то в областях вблизи внутренней и вблизи ввешвей ниц необходимо пользоваться различными функциями, которые должны, конечно, совпадать при Нетрудно написать две такие функции, обращающиеся в нуль на поверхности проводников и совпадающие друг с другом при Они имеют вид при или

при

Эти решения имеют должную симметрию относительно Для определения коэффициентов можно воспользоваться теоремой Гаусса о потоке электрической индукции, применив ее к области, окружающей заряд.

Допустим, что заряд сосредоточен в маленькой области на поверхности цилиндра в окрестности точки Эта область принимается настолько малой, что физически ее невозможно измерить, однако математически она не является точкой, благодаря чему потенциал и напряженность поля всюду конечны. Согласно формуле (1.27), интеграл по двум сторонам поверхности цилиндра равен

Из выражений (5.428) и (5.429) следует

При помощи решения (5.409) это выражение можно записать следующим образом:

Положим теперь умножим правую и левую части на

и проинтегрируем по поверхности цилиндра Все члены в правой части, за исключением тех, для которых обращаются в нуль (см. Двайт, 858.1 и 858.2). Оставшиеся интегралы, кроме вычисляются по формуле (Двайт, 858.4). Для вычисления интеграла в левой части заметим, что если размеры заряда достаточно малы, то дар и имеют постоянные значения, равные соответственно единице и и могут быть вынесены из-под знака интеграла. Поэтому, учитывая, что в левой части получаем интеграл (5.430). При имеем

При коэффициент в правой части отсутствует, поскольку

Определяя из соотношения (5.432) и подставляя в выражения находим

где

Для цилиндрической полости (случай, рассмотренный в § с применением бесселевых функций) следует положить так что приведенные выше выражения для потенциала примут вид

Как видно из выражения для потенциала , последний удовлетворяет всем граничным условиям, конечен, но не обращается в нуль на оси. Когда заряд расположен на оси, следует пользоваться формулой (5.436), опустив суммирование по и положив

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление