Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 17. Задача о проводящем шаре.

Для иллюстрации применения метода сфзрических гармоник к решению задач, в которых рассматриваются границы между проводником и изолятором, вычислим потенциал во всех точках проводящего шара с удельным сопротивлением х, в том случае, когда ток I входит в один его полюс и вытекает из проти ложного В силу симметрии потенциал экваториальной плоскости можно принять равным нулю, так что в соответствии с § 16 и гл. V в разложении потенциала будут присутствовать только нечетные гармоники. Для потенциала, который должен быть конечным в начале координат, получаем

Чтобы определить продифференцируем выражение (6.71) по положим умножим на и проинтегрируем от до Из соотношения (5.92) следует, что в правой части останется только член, для которого так что, заменив на получим

Применим формулу (5.127) к интегралу в правой части. При производная равна нулю всюду, за исключением площадки поверхности электрода, т. е. окрестности эта площадка так мала, что на ней можно заменить на Согласно формуле (6.8), поскольку для находим

и, следовательно, выражение (6.71) принимает вид

Этот ряд можно разбить на четыре более простых ряда и заменить в них на Таким образом, получим,

Обозначая расстояния до полюсов через можно, согласно выражению (5.17), произвести суммирование этих рядов:

Пусть образуют с осью шара углы так что Появляющиеся при интегрировании (см. Пайерс, 182) в выражении (6.74) логарифмические члены сокращаются, и для потенциала V получаем

Очевидно, что

так что исходное разложение (6.73) остается верным вблизи полюсов.

В рассматриваемом случае в силу симметрии границы трубок тока являются поверхностями вращения. Уравнение поверхности трубки, по которой протекает ток можно получить, интегрируя нормальную компоненту плотности тока по сегменту, вырезанному трубкой на сфере, и приравнивая результат интегрирования току Для этой цели выражение (6.74) более удобно, чем (6.75). Интеграл от членов, содержащих величины, обратные расстояниям, был вычислен в § 116 гл. поскольку элемент поверхности равен для тока будем иметь

Полагая и интегрируя (см. Двайт, 191.01), получим

Если — тупой угол между то

и уравнение трубок тока приводится к виду

Эта формула подтверждает выполнение граничных условий, так как на поверхности шара второй член в скобках равен нулю и

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление