Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 15. Зональные вихревые токи в сферической пленке.

Рассмотрим вихревые токи в тонкой сферической проводящей пленке. При наличии аксиальной симметрии все вихревые токи текут по коаксиальным окружностям. Пусть полный вектор-потенциал равен где А — вектор-потенциал вихревых токов. вызывающая появление токов в кольце шириною а соответствующем углу , индуцируется, как известно, в результате изменения величины полного потока сквозь это кольцо. Пользуясь

соотношениями (8.1) и результатами § 8 гл. VII, можно выразить через и затем при помощи закона Ома (6.6) — через ток

Откуда, если вектор-потенциалы равны нулю при имеем

где плотность тока, удельное поверхностное сопротивление. Пусть выражение для вихревых токов в пленке представлено в виде ряда по зональным гармоникам, где гармоника тока. Из выражений (7.61) и (7.64) можно найти простое соотношение между членом разложения вектор-потенциала этих токов, а именно:

Если также разложить в ряд по сферическим гармоникам, то, подставляя выражение (11.111) в (11.110), мы видим, что разложения и связаны между собой на поверхности пленки уравнением

Если при возбуждающее поле постоянно, а в момент времени поле вихревых токов известно и равно

то, очевидно, решение уравнения (11.112), определяющее закон убывания вихревых токов, имеет вид

Предположим, что значение вектор-потенциала возбуждающего поля на поверхности сферы можно записать в форме

Изменение этого ноля, происшедшее за до момента времени за бесконечно малый интервал времени равно

Возникающие за тот же интервал времени вихревые токи создают поле, полностью нейтрализующее это изменение в момент его возникновения; но с течением времени поле вихревых токов убывает по закону (11.114), и к моменту времени мы имеем

Полный вектор-потенциал вихревых токов на поверхности сферы в момент времени равен

Заменим на и проинтегрируем по частям; тогда, пользуясь соотношением получим следующее выражение при для вектор-потенциала от всех источников:

В случае стационарного переменного поля величина А, которая может являться результирующим потенциалом поля как внешних, так и внутренних источников, определяется при выражением (11.115), где

Обозначая величину через и интегрируя выражение (11.116) (см. Двайт, 863.1 и 863.2), для вектор-потенциала поля только вихревых токов при получим следующее соотношение:

где Таким образом, отставание по фазе равно Величина которая обращается в нуль при и определяется выражением (11.119) при будет являться вектор-потенциалом поля вне сферы, обусловленного только вихревыми токами. Следовательно,

Внутри пленки вектор-потенциал поля вихревых токов А- должен быть всюду конечным, поэтому следует заменить на Для внешних источников входит в выражение для А в виде Согласно соотношениям (11.115), (11.118) «и (11.119), результирующее внутреннее поле равно (см. Двайт, 401.03)

Это выражение можно было бы получить непосредственно из соотношений и (11.119). Отношение члена в разложении по гармоникам новой амплитуды к соответствующему члену в разложении по гармоникам старой амплитуды равно

Из выражения (11.120) следует, что если очень велико, то отношение (11.123) близко к единице и поле остается неизменным, но если пленка является хорошим проводником, т. е. если мало по сравнению с то становится очень малым и происходит почти полное экранирование.

Плотность вихревых токов в пленке, определяемая выражениями (11.111) и (11.119), равна

Согласно формуле (6.11), мгновенное значение мощности, рассеиваемой на элементарной площадке пленки, равно а для всей пленки, учитывая, что получим

Если возвести в квадрат выражение (11.123) и проинтегрировать от до то все члены, содержащие смешанные произведения, согласно соотношению (5.92), исчезнут и останется сумма интегралов от квадратов величин. Таким образом, каждая гармоническая составляющая тока ведет себя как независимый ток, так что средняя мощность рассеяния в соответствии с выражением (10.18) равна

Интёгрируя при помощи соотношения (5.194), найдем окончательно мощность, рассеиваемую в сферической пленке:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление