Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Решение уравнения Пуассона.

Потенциал точки созданный в вакууме зарядом плотности находящимся в объеме согласно формуле (1.4), равен где расстояние от объема до точки Таким образом, потенциал в точке созданный всеми зарядами, будет равеп

Но из формулы (3.6) следует, что этот потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона

Таким образом, выражение (3.28) является решением уравнения (3.29).

Однако уравнение (3.29) можно решить непосредственно при помощи теоремы Гаусса. Применим ее к области заключенной между двумя концентричными сферами с центрами в точке одна из которых мала и имеет поверхность , а другая, большая, имеет поверхность и радиус . Пусть функция в соотлошопии (3.22) равна тогда

Рассмотрим первый из этих интегралов. На малой сфере и телесный угол, под которым виден элемент из точки равен Поэтому в силу конечности

Если весь заряд создающий потенциал V, расположен в конечной области, то при и на поверхности 2 члена в подинтегральном выражении стремятся к и то время как площадь поверхности равна Слсдовательво, второй интеграл

стремится к нулю как Поскольку является решением уравпепия Лапласа то, учитывая уравнение (3.29), выражение (3.30) можно переписать в виде

откуда опять следует решение (3.28) уравнения (3.29).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление