Главная > Физика > Электростатика и электродинамика
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 16. Конформные преобразования.

Очевидно, что метод сопряженных функций является могучим средством решения двухмерных задач о распределении потенциала. Но для того чтобы им пользоваться, надо уметь находить нужные функции. Прежде чем излагать общие методы их отыскания, мы сейчас изучим некоторые специфические свойства функций комплексных переменных. Нанесем на одну из плоскостей значения а на другую — значения и предположим, что z является аналитической функцией так что каждой толке на плоскости соответствует по крайней море одна точка на плоскости z. Если функция непрерывная, то при перемещении точки но плоскости вдоль некоторой кривой соответствующая ей точка на плоскости z тоже опишет некоторую кривую. Если же функция не является непрерывной функцией, то точка на плоскости z будет перескакивать при этом с одного места в другое. Пусть, когда точка на плоскости описав замкнутую кривую, возвращается в первоначальное положение, соответствующая точка на плоскости z также возвращается в первоначальное положение; тогда в той области плоскости z, где это имеет место, функцию называют однозначной. По правилу деления двух комплексных чисел (см. § 9) имеем

где длина элемента дуги кривой в плоскости длина соответствующего элемента соответствующей дуги кривой к плоскости Таким образом, модуль служит мерой изменения элемента длины вблизи некоторой точки плоскости z при преобразовании этой точки в соответствующую точку плоскости

Построим теперь бескопечио малый треугольник, образованный пересечением трех кривых на плоскости z, и обозначим длины сторон этого треугольника через Тогда длины сторон треугольника, трансформированного на плоскость z, будут откуда т. е. эти треугольники оказываются подобными. Отсюда ясно, что углы, образованные при пересечении соответствующих кривых, при таких преобразованиях не меняются. Эти преобразования называются конформными.

При делении двух комплексных чисел их аргументы вычитаются, поэтому аргумент отношения равен углу, на который поворачивается при преобразовании элемент кривой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление