Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Эвольвента

Эвольвентой данной кривой называется новая кривая, для которой данная кривая служит эволютой. Докажем, что если с исходной кривой сматывать в натянутом состоянии нить, то любая фиксированная точка этой нити будет описывать эвольвенту исходной кривой (эволюты).

Рис. 110.

Таким образом, у данной кривой эвольвент бесконечно много.

Доказательство. Обозначим через дугу исходной кривой между начальной точкой и текущей точкой На касательной в точке в направлении, противоположном х, отложив отрезок где С — любая константа, получим точку радиус-вектор которой определится так:

Это уравнение и определяет радиус-вектор фиксированной точки нити, которая сматывается в натянутом состоянии с данной кривой (рис. 110).

Найдем эволюту для кривой, которую описывает точка Снабжая индексом 2 все величины, связанные

с этой кривой, последовательно находим:

Отсюда получаем

Радиус-вектор текущей точки эволюты для кривой, описываемой точкой будет равен

т. е. эта эволюта совпадает с исходной кривой, что и требовалось доказать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление