Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ

§ 1. Скорость и ускорение точки

1. Скорость точки.

Радиус-вектор точки движущейся в пространстве, является функцией времени:

Его можно рассматривать также как функцию от дуги траектории, которую описывает точка (рис. 111):

Рис. 111.

В этом случае длина дуги играет роль промежуточного аргумента, который сам зависит от времени:

Как уже отмечалось выше (см. (7.10)), скорость точки есть производная ее радиуса-вектора по времени, т. е.

или

Но ; поэтому

Итак, скорость изображается вектором, направленным по касательной к траектории, модуль которого равен абсолютной величине производной от длины дуги по времени:

2. Ускорение точки.

Ускорение точки определяется как предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю:

Следовательно, ускорение есть производная от скорости по времени:

Воспользовавшись для скорости у найденным выше выражением (10.5), мы получим

Но

В силу этого

Мы видим, что ускорение изображается вектором, компланарным векторам т. е. вектором, расположенным

в соприкасающейся плоскости. Проекции этого вектора на касательную и главную нормаль определяются формулами

Итак, проекция ускорения на касательную равна второй производной от дуги по времени; проекция ускорения на главную нормаль равна произведению кривизны траектории на квадрат скорости точки.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление