Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Абсолютная и относительная производные вектора.

Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени от данного момента до следующего момента За этот промежуток времени движущееся тело V перейдет из положения в новое положение а переменный вектор изменит свое значение на новое

значение Если бы за рассматриваемый промежуток времени вектор не изменял своего относительного положения по отношению к телу V и перемещался вместе с ним, то из положения он перешел бы в некоторое положение (рис. 115), отличное от настоящего нового положения

Рис. 115. (см. скан)

Разности между получившимися тремя векторами имеют определенный смысл. Разность

называемая увлечением вектора, является приращением, которое получил бы вектор если бы перемещался с твердым телом, сохраняя фиксированное положение по отношению к нему.

Разность

называемая относительным изменением вектора В, является приращением, которое получает вектор В с точки зрения наблюдателя, неизменно связанного с твердым телом.

Разность

является абсолютным приращением вектора В. Из чертежа непосредственно ясно, что

Разделив на и перейдя к пределу, мы получим

Выясним смысл получившихся пределов.

а) Предел является обычной производной вектора В по времени. Мы для отчетливости будем ее называть абсолютной производной:

б) Предел является производной вектора В с точки зрения наблюдателя, неизменно связанного с твердым телом V и рассматривающего изменение вектора В только по отношению к телу Эту производную мы будем называть относительной производной и обозначать

в) Предел есть предел отношепия приращения вектора В при условии, что он неизменно связан с твердым телом, к бесконечно малому приращению времени.

Приращение не изменится, если твердое тело из нового положения мы параллельно перенесем

так, чтобы новое положение начальной точки совпало с исходным Поэтому можно рассматривать как перемещение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки Следовательно, можно считать, что предел выражает скорость указанной точки и определяется формулой Эйлера (10.19):

Вектор является здесь мгновенной угловой скоростью тела Ее можно истолковать как угловую скорость вспомогательного твердого тела V, геометрически равного данному телу V и вращающегося вокруг неподвижной точки При этом вращение происходит так, что в каждый момент времени вспомогательное тело параллельным перемещением может быть геометрически совмещено с соответствующим положением тела

Ясно, что угловая скорость не зависит от выбора начальной точки

Итак, мы из формулы (10.34) получаем следующую окончательную формулу:

Здесь В — переменный вектор, угловая скорость твердого тела, с которым связана подвижная система отсчета, — абсолютная производная вектора В, — относительная производная вектора В.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление