Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Главные направления на поверхности.

Ранее отмечалось, что каждому направлению на поверхности соответствует определенная нормальная кривизна Будем искать в фиксированной точке направления, которым соответствуют экстремальные значения нормальной кривизны. Обозначив

из (11.76) получим

Так как в фиксированной точке коэффициенты квадратичных форм определены, то правая часть (11.83) зависит лишь от Найдем производную:

Ранее отмечалось, что в иеособой точке первая квадратичная форма положительно определена. Поэтому знаменатель в правой части последнего равенства не нулю, и необходимое условие экстремума нормальной кривизны состоит в равенстве нулю числителя:

или что то же,

В неособой точке поверхности дискриминант квадратного уравнения (11.86), вообще говоря, положителен. В этом легко убедиться, введя на поверхности ортогональную параметрическую сеть, т. е. такую, что в каждой точке линия и перпендикулярна линии В такой сети,

как это видно из В силу этого уравнение (11.86) примет вид

а его дискриминант равен

Но (см. § 5, п. 1) в неособой точке коэффициенты положительны. Поэтому дискриминант неотрицателен. Нулю же он равен лишь при условии, что Но при этом условии все коэффициенты уравнения (11.87) обращаются в нуль, т. е. это уравнение, а потому и уравнение (11.86), обращается в тождество.

Итак, если уравнение (11.86) не является тождеством, то в неособой точке поверхности оно имеет два различных действительных корня и Определяемые этими корнями направления на поверхности называются главными направлениями, а соответствующие им нормальные кривизны — главными кривизнами поверхности.

Главные кривизны и можно получить, внося последовательно и 12 в (11.83). Далее будет показано, они и являются экстремальными значениями нормальной кривизны.

Заметим, что главные кривизны можно получить и иначе. Разделив обе части (11.85) на и приняв во внимание (11.83), будем иметь

Уравнение (11.86) приводится к виду

Внося сюда (11.88) и сокращая результат на получим

Исключая I из уравнений (11.88) и (11.89), придем к квадратному уравнению

корни которого и будут главными кривизнами.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление