Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Перпендикулярность главных направлений.

Отнесем поверхность к главным направлениям, т. е. построим координатную сеть так, чтобы в каждой точке липии и и касались главных направлений. Теперь нормальные кривизны линий и будут главными кривизнами. Пусть является нормальной кривизной линии Вдоль этой линии и не меняется, и потому Подставив это в (11.88) и (11.89), получим

Если в качестве взять не отношение то аналогично получатся соотношения

Вычтем второе равенство (11.92) из первого равенства

Но так как в противном случае из (11.91) и (11.92) следовала бы пропорциональность

в силу которой уравнение (11.86) превратилось бы в тождество и главные направления не были бы определены. Поэтому из (11.93) заключаем: так как, по определению, коэффициент равен скалярному произведению векторов направления которых в нашем случае совпадают с главными направлениями, то эти векторы, а потому и главные направления, перпендикулярны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление