Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Формула Эйлера.

Отнесем поверхность к главным панравлепиям. Так как эти направления перпендикулярны, то Кроме того, из (11.91) и (11.92) получаем Внесем это в (11.83):

Пусть угол между направлением, которое определяется отношением линией и. Поскольку направление задается отношением дифференциалов, то один

из этих дифференциалов можно задать произвольно. Для первого направления положим Второе направление есть направление линии , и потому и можно считать произвольным. Подставив это в (11.65) и учтя соотношение будем иметь

Угол между тем же направлением и линией равен поскольку линии и и перпендикулярны. Для него аналогично найдем

С учетом этих равенств (11.94) можно переписать так:

Это соотношение между нормальной кривизной данной линии, главными кривизнами и углом, образуемым этой линией с главными направлениями, называется формулой Эйлера.

Из этой формулы следует:

Если то отсюда заключаем: Если же то обоих случаях нормальная кривизна заключена между главными кривизнами. Этим доказано, что главные кривизны являются экстремальными значениями нормальной кривизны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление