Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Глава XII. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

§ 1. Функция поля. Поверхности уровня

1. Скалярное поле.

Если в каждой точке некоторой части пространства определено значение некоторого скаляра то говорят, что в этой части пространства определено скалярное поле (поле скаляра .

Примерами конкретных скалярных полей могут служить поле температуры нагретого тела, поле давлении воздуха в атмосфере, поле плотности вещества в теле и т. д.

Замечание. Очень часто приходится иметь дело не с пространственными, а с плоскими полями, когда каждой точке плоскости приводится в соответствие значение скаляра. Такие поля рассматриваются, например, в метеорологии: поле температур в данный момент на поверхности земли, ноле давлений и т. д.

2. Скаляр поля.

В каждой точке ноля скаляр имеет определенное значение. Следовательно, скаляр является функцией от радиуса-вектора текущей точки поля:

Мы будем относить поле к прямоугольной системе координат х, у, z. Тогда текущая точка пространства будет определяться тройкой текущих прямоугольных координат х, у, z и скаляр поля будет функцией от них:

Замечание 1. Для обеспечения возможности прилагать методы дифференциального и интегрального исчисления в теории поля мы будем ограничиваться рассмотрением лишь таких скалярных функций поля,

которые непрерывны и обладают непрерывными частными производными до необходимого в исследовании порядка.

Замечание 2. Часто приходится рассматривать переменные поля, когда скаляр поля зависит только от координат точки, но и от времени:

Мы ограничимся изучением лишь стациопарных полей, не зависящих от времени. Если же поля будут переменными, то наша теория будет относиться лишь к каждому их мгновенному состоянию. Теория стационарного скалярного поля имеет большое самостоятельное значение. С другой стороны, она является основой для изучения переменных полей.

3. Поверхности уровня.

Геометрическое место точек поля, в которых скаляр поля имеет одно и то же значение, называется поверхностью уровня поля.

Таким образом, уравнение поверхности уровня поля имеет вид

где С — произвольная постоянная, которой можно придавать любые значения, заключенные между наименьшим и наибольшим зпачениями скаляра поля.

Через каждую точку поля проходит единственная поверхность уровня, определенная уравнением

Замечание. В случае двумерного поля понятие поверхности уровня заменяется понятием линии уровня. Примерами таких линий могут служить наносимые на картах изобары (линии равных давлений), изотермы (линии равных температур) и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление