Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Градиент поля

1. Определение градиента.

Полный дифференциал скаляра поля

мы можем представить как скалярное произведение двух

векторов:

Один множитель является дифференциалом радиуса-вектора текущей точки:

Другой множитель зависит лишь от координат точки поля и не зависит от их дифференциалов. Этот множитель и называется градиентом поля в данной точке:

Таким образом,

Определение. Вектор, зависящий только от координат текущей точки, называется градиентом поля, если скалярное произведение этого вектора на дифференциал радиуса-вектора текущей точки является полным дифференциалом скаляра поля:

Такой вектор выше был найден:

Однако возникает вопрос о его единственности: быть может, можно указать другие векторы, обладающие тем же свойством? Докажем, что это не так. Пусть имеется два градиента т. е.

Вычитая из первого равенства второе, мы получим

Один множитель этого равного нулю скалярного произведения является произвольным перемещением текущей точки. Если бы второй множитель не равпялся нулю, то он был бы (в силу равенства нулю скалярного произведения) перпендикулярен к произвольному

вектору а этого быть поможет. Поэтому

Итак, градиент поля в каждой точке является однозначно определенным вектором.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление