Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Первая теорема о градиенте.

Градиент в данной точке поля направлен по нормали к поверхности уровня в этой точке (рис. 132).

Рис. 132.

Доказательство. На поверхности уровня поля

мы возьмем какую-нибудь точку и произвольно проведем через нее линию расположенную на поверхности. Эту линию отнесем к длине ее дуги. Координаты текущей точки линии будут функциями от

Так как линия лежит на нашей поверхности уровня, то координаты текущей точки ее удовлетворяют уравнению этой поверхности:

Продифференцировав это тождество по мы на основании правила дифференцирования сложной функции получим

или

где вектор

является ортом касательной к линии

Это соотношение выполняется в любой точке линии но мы его будем рассматривать лишь в выбранной точке Мы видим, следовательно, что в точке градиент перпендикулярен орту касательной к произвольно проведенной на поверхности линии Таким образом, касательные в точке к всевозможным линиям поверхности уровня, проходящим через эту точку, располагаются в одной плоскости, перпендикулярной к градиенту.

Плоскость, в которой располагаются касательные в данной точке поверхности к всевозможным линиям, проведенным на поверхности через данную точку называется (см. гл. XI, § 3, п. 2) касательной плоскостью поверхности в точке Перпендикуляр к касательной плоскости называется нормалью поверхности в точке касания. Следовательно, градиент направлен по нормали поверхности уровня.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление