Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Законы умножения вектора на скаляр.

Эти законы те же самые, что и законы умножения чисел. Их три: закон переместительности, закон сочетательности и закон распределительности. Покажем их справедливость при умножении вектора на скаляр.

а) Закон переместительности. Произведение не меняется при перестановке сомножителей:

Действительно, по определению мы не отличаем произведения вектора на скаляр от произведения скаляра на вектор, считая обе эти операции тождественными.

б) Закон сочетательности для скалярных множителей. Последовательное умножение вектора на несколько скалярных множителей

равносильно умножению этого вектора на произведение этих множителей:

Действиельно, оба вектора имеют одинаковые направления: если имеют одинаковые знаки, то они оба будут направлены одинаково с а; если же X и и имеют разные знаки, то они оба будут направлены противоположно а. Модули этих векторов также одинаковы:

[То векторы, имеющие одинаковые направления и модули, совпадают. Следовательно,

в) Закон двоякой распределительности. Умножение суммы векторов на скаляр, а также умножение суммы скаляров на вектор можно производить почленно, т. е.

Доказательство 1. Построим треугольник из векторов и треугольник из векторов (рис. 20).

Рис. 20.

У этих треугольников стороны и соответственно параллельны и пропорциональны: Поэтому тре

угольники подобии, их третьи стороны также параллельны и их отношение также равно

Следовательно,

и первый закон распределительности доказан.

Замечание. Чертеж (рис. 20) сделан в предположении, что X положительно. Если X будет отрицательно, то направления всех сторон треугольника изменятся на противоположные и доказательство останется в силе.

Доказательство 2. Если сумма положительна, то векторы будут направлены одинаково с а и будут иметь одинаковые модули:

Следовательно.

т. е. в этом случае гакоп распределительности справедлив.

Пусть теперь сумма скаляров отрицательна; тогда та же сумма с противоположным знаком будет положительна и но доказанному

откуда умножением на —1 получаем

Итак, второй закон распределительности также доказан.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление