Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Основные свойства криволинейного интеграла.

Из свойств определенного интеграла вытекают следующие основные свойства криволинейного интеграла.

Свойство 1. Если изменить направление пути интеграции, то криволинейный интеграл изменит только свой знак:

Действительно, при изменении направления пути интеграции меняются лишь местами пределы интеграции в определенном интеграле, которому равен криволинейный интеграл, а от этого меняется только знак.

Свойство 2. Если путь, интеграции разбить на несколько участков, то криволинейный интеграл по всему пути будет равен сумме интегралов по всем частичным участкам:

Это свойство непосредственно вытекает из теоремы о разбиении для определенного интеграла.

Свойство 3. Криволинейный интеграл не зависит от выбора параметра, к которому относится линия интеграции.

Действительно, пусть произведено преобразование параметра

Тогда система параметрических уравнений линии

превратится в новую систему уравнений той же линии

В соответствии с этими двумя способами параметризации

линии мы можем паписать два различных выражения для криволинейного интеграла, который будем для простоты считать одночленным:

Выполнив в первом интеграле замену мы получим

По , поэтому

или

т. е., действительно, два выражения для криволинейного интеграла, соответствующие различным способам параметризации, оказываются равными между собой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление