Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Поверхностный интеграл как предел суммы.

Мы будем рассматриватъ область на правильно параметризованной поверхности и функцию от радиуса-вектора текущей точки пространства (иначе говоря, от трех координат х, у, z этой точки), непрерывную на области Разобьем область произвольным способом на частей На каждой частичной области возьмем произвольно опорную точку и составим поверхностную интегральную сумму, т. е. сумму вида

Определение. Поверхностным интегралом с элементом интеграции от функции по области правильно параметризованной поверхности называется предел поверхностной интегральной суммы, т. е.

при условии, что число частичных областей неограниченно растет, а максимум длин их хорд стремится к нулю.

Покажем, что этот, предел суммы существует независимо от способа разбиения области на частичные области и от. выбора опорных точек на этих частичных областях и что он равен некоторому параметрическому поверхностному интегралу.

Формула компланации (11.44) дает

Применив теорему о среднем значении, получим

Вследствие этого формула (13.42) принимает вид

Отсюда на основании обобщенной основной теоремы о двойном интеграле получим

Обращаясь к определению параметрического поверхностного интеграла. (см. предыдущий пункт), мы можем представить последний двойной интеграл как параметрический поверхностный интеграл:

Здесь анак плюс соответствует случаю, когда нормальный вектор определяющий рассматриваемую сторону

поверхности направлен одинаково с вектором знак минус соответствует противоположному случаю.

Между прочим, легко убедиться, что оба знака будут автоматически учтены, если поверхностный интеграл записать в такой форме:

Замечание 1. Получившийся здесь параметрический поверхностный интеграл (13.45) не зависит от параметризации поверхности, так как он равен пределу поверхностной интегральной суммы, которая никак не связана с параметризацией.

Замечание 2. В общем случае подынтегральная функция может зависеть не только от радиуса-вектора текущей точки, по и от других аргументов. Важно только, чтобы эти аргументы однозначно определялись в каждой точке поверхности интеграции и зависели от ее параметризации. Это обеспечит независимость интеграла от параметризации поверхности.

Замечание 3. Мы видим, что переход от поверхностного интеграла с поверхностным элементом интеграции к параметрическому поверхностному интегралу (13.45) совершается заменой элемента интеграции элементом Таким образом, под знаком поверхностного интеграла можно пользоваться следующим условным равенством:

Звездочка над знаком равенства указывает имеппо на то обстоятельство, что можпо заменять на лишь под знаком поверхностпого интеграла.

Если направление нормального вектора определяющего рассматриваемую сторону поверхности совпадает с направлением вектора то формула (13.46), определяющая элемент интеграции, принимает вид

Следовательно, в этом случае поверхностный элемент интеграции совпадает с элементом площади поверхности (11.49).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление