Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава XV. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ

§ 1. Формула Остроградского

1. В основе теории векторного поля лежат две интегральные формулы. Первая из них принадлежит русскому математику и механику Михаилу Васильевичу Остроградскому (1801—1861). Эта формула была открыта Остроградским в 1826 г. и опубликована в 1838 г. в связи с его исследованиями в области вариациоиного исчисления,

относящимися к проблеме максимумов и минимумов кратных интегралов. При этом получил он ее в гораздо более общем виде, чем тот, в котором она применяется в теории векторного поля.

Вторая интегральная формула теории поля была найдена английским гидромехаником Стоксом (1819—1903) в 1854 г.

2. Преобразование Остроградского.

Это преобразование решает задачу сведения интеграла любой кратности к интегралу меньшей кратности. Для целей теории поля мы разберем эту задачу лишь применительно к тройному интегралу.

Мы знаем, что для вычисления тройного интеграла следует сначала частным образом проинтегрировать подинтегральную функцию по одному из аргументов, а затем вычислить двойной интеграл от полученного результата.

Для сведения тройного интеграла, распространенного по произвольной области, к двойному интегралу нужно, чтобы первое интегрирование было выполнено в общем виде. для этого нужно, чтобы подинтегральная функция была частной производной от некоторой функции по одному из аргументов.

Рис. 162.

Итак, рассмотрим, например, интеграл

причем пока будем предполагать, что область интеграции (V) нормальная, т. е. пересекающая область вертикаль имеет с пей только один общий отрезок (рис. 162). Кроме того, будем предполагать, что непрерывна в области (V), включая ее границу.

По правилу вычисления тройного интеграла мы получим

Следовательно,

Пусть соответственно нижняя и верхняя части поверхности ограничивающей область интеграции (V). Нормаль к поверхности мы направим наружу но отношению к области Тогда, но определению поверхностного интеграла (гл. XIII, § 3), мы получим

В силу этого формула (15.1) для исходного тройного интеграла примет вид

Объединив поверхностные интегралы, мы получим формулу преобразования тройного интеграла в двойной, которую и называют преобразованием Остроградского:

«Колечко» на знаке поверхностного интеграла напоминает о замкнутости поверхности интеграции

Замечание 1. Если область не является нормальной, то мы разобьем эту область на нормальные области Для каждой из частичных нормальных областей выведенная формула справедлива:

Сложив эти равенства, мы получим

В получепной сумме взаимно уничтожатся поверхностные интегралы по всем тем частям поверхностей по которым соприкасаются друг с другом частичные области и останутся лишь поверхностные интегралы по тем частям которые располагаются на наружной границе Поэтому мы получим

Рис. 163.

Итак, формула преобразования Остроградского верна для произвольной области

Замечание 2. Аналогичные формулы мы получим, если под знаком тройного интеграла будет стоять частная производная по х или по у:

3. Формула Остроградского.

Рассмотрим поток поля И через замкнутую поверхность ограничивающую трехмерную область (рис. 163). По формуле (14.18) этот поток равен

При этом будем предполагать, что вектор поля и его частные производные определены и непрерывны во всей области (V), ограниченной поверхностью

В координатной форме формула потока имеет вид (см.

Применим к каждому слагаемому поверхностному интегралу соответствующее преобразование Остроградского:

Сложив эти равенства, мы и получим формулу Остроградского в координатной форме

4. Формула Остроградского в векторной форме.

Левая часть формулы Остроградского, как уже отмечалось, является потоком поля

Подынтегральную функцию правой части формулы называют дивергенцией поля и обозначают

Таким образом, формулу Остроградского можно записать так:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление