Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Дивергенция поля

1. Инвариантность дивергенции.

Дивергенция поля у пас возникла автоматически при выводе формулы Остроградского. При этом для ее вычисления получилась координатная формула (15.13)

Непосредственно не видно, что дивергенция поля не зависит от системы координат и определена однозначно. Теперь мы докажем эту однозначность.

Для доказательства предположим, что данное поле имеет две дивергенции являющиеся непрерывными функциями от координат текущей точки На основании формулы Остроградского (15.14) мы получим

Вычтя из первого равенства второе, будем иметь

Допустим, что в некоторой точке поля дивергенции различны. Пусть, например,

Тогда в некоторой окрестности взятой точки это неравенство также будет сохраняться. Приняв эту окрестность за область интеграции, мы получим

что противоречит равенству (15.15). Следовательно, во

всех точках поля обе дивергенции совпадают:

Итак, действительно дивергенция поля однозначно определена и не зависит от выбора системы координат. Для выяснения физического смысла дивергенции мы предварительно представим ее в виде предела отношения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление