Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Гидромеханический смысл дивергенции.

Конкретный смысл дивергенции зависит от конкретного характера векторного поля. Мы пока ограничимся выяснением лишь гидромеханического смысла дивергенции. Рассмотрим стационарное течение жидкости и поле скоростей его частиц. Пусть поток жидкости пронизывает некоторую область (рис. 165). Поверхность ограничивающую эту область, разобьем на часть через которую жидкость втекает в область и часть через которую жидкость вытекает. Тогда поток поля скоростей через замкнутую поверхность представится как сумма потоков через эти части:

Первый частичный поток будет заведомо отрицательным в силу отрицательности скалярного произведения вектора поля на орт наружной пормали. По абсолютной величине он будет давать объемное количество жидкости, втекающей в единицу времени в область

Второй частичный поток будет, напротив, положительным и даст объемное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из области

Рис. 165.

Итак, поток поля скоростей жидкости через замкнутую поверхность ограничивающую некоторую область (V), равен объемному расходу жидкости из области объемному расширению в области (V) за единицу времени.

Представив дивергенцию в виде предела отношения (15.18), т. е.

мы можем сказать, что дивергенция поля скоростей жидкости есть расход жидкости в данной точке, отнесенный к единице объема. Иначе можно сказать, что дивергенция поля скоростей жидкости есть объемное расширение этой жидкости в данной точке, отнесенное к единице объема.

Замечание. Если в каждой точке поля скоростей жидкости дивергенция равна нулю, то это означает, что жидкость не сжимается и не расширяется. Этим свойством, например, обладает текущая вода. Однако под жидкостью в широком смысле в механике подразумевают, в частности, и газ.

Академик С. А. Чаплыгин доказал теоретическим путем, что воздух при скоростях, не превосходящих примерно половины скорости звука, ведет себя приблизительно как несжимаемая жидкость. Следовательно, в аэромеханике малых скоростей можно считать, что дивергенция равна нулю. Опыты вполне подтверждают этот факт.

Наоборот, при дозвуковых скоростях, близких к скорости звука, и при сверхзвуковых скоростях воздушного потока давления не успевают перераспределяться, и воздух уже ведет себя, как сжимаемый газ. Дивергенция текущего с большой скоростью газа уже отлична от нуля.

Точно так же дивергенция оказывается отличной от нуля, когда в текущем газе возникают химические реакции (например, горение), изменяющие его плотность.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление