Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

10. Вихревые шнуры.

Границами векторного поля могут служить поверхности, а также отдельные точки и линии, не принадлелчащие полю.

Вихревым шнуром называется отдельная граничная линия поля, не оканчивающаяся внутри поля.

Мы рассмотрим вихревой шнур в потенциальном иоле. Заметим, что поле, в котором есть вихревой шнур, не является односвязным. Замкнутый контур, охватывающий вихревой шнур, нельзя стянуть к точке поля, пересекая границ поля. Следовательно, циркуляция поля по такому контуру не обязательно равняется нулю.

Рассмотрим два замкнутых коптура охватывающих по одному разу вихревой шнур I и не охватывающих других вихревых шнуров (рис. 177). Соединим точки и этих контуров линией и рассмотрим получившийся новый замкнутый контур в котором линия повторяется два раза. Этот контур можно стянуть в одну точку поля, не пересекая его границ. Следовательно, циркуляция поля но этому контуру будет равна нулю, т. е.

Циркуляция по линиям и взаимно уничтожаются, и мы получаем

Рис. 177.

или

Итак, циркуляция потенциального поля по замкнутому контуру, который охватывает один раз данный вихревой шнур и не охватывает других вихревых шнуров, есть величина постоянная, не зависящая ни от формы, ни от положения указанного контура. Эта циркуляция называется интенсивностью или мощностью вихревого шнура.

Замечание 1. Знак интенсивности вихревого шнура зависит от направления обхода контура.

Рис. 178.

Рис. 179.

Обычно выбирают определенное направление самого вихревого шнура и обходят контур по правилу правого винта (рис. 178):

Замечание 2. Отношение циркуляции поля но замкнутому контуру который охватывает один вихревой шнур с ненулевой мощностью к площади поверхности ограниченной этим контуром, т. е.

стремится к бесконечности, когда контур и ограниченная им область стягиваются в точку

Следовательно, можно сказать, что во всех точках вихревого шнура с ненулевой интенсивностью ротация поля обращается в бесконечность.

Замечание 3. Если контур обвивает вихревой шнур песколько раз (рис. 179), то циркуляция поля вдоль этого контура равна произведению мощности шнура на число обходов вокруг шнура;

Замечапие 4. В гидромеханике вихревым шнуром является линия, вокруг которой происходит вращательное движение жидкости наподобие смерча. В теории электричества вихревым шнуром является провод, по которому течет ток (см. гл. XVIII, § 3), и т. д.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление