Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Коллинеарные векторы.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Пулевой вектор считается иоллинеарпым любому вектору.

Таким образом, коллинеарные векторы, и только коллинеарные, располагаются на одной прямой, если их начала поместить в одну точку. Направления коллинеарпых векторов могут быть одинаковыми, а могут быть и противоположными (рис. 21).

Рассмотрим дна коллииеарных вектора Пусть одни из них, например а, отличен от нуля. Тогда второй вектор получится из него умножением на некоторый скаляр:

причем , если одинаково направлены, и , если одинаково направлены, и если противоположно направлены. Следовательно, связаны линейной зависимостью:

Эта зависимость сохранится и тогда, когда оба вектора нулевые.

Рис. 21.

В этом случае можно брать любой скаляр

Итак, два коллииеарных вектора всегда линейно зависимы.

Пусть теперь, обратно, два вектора связаны линейной зависимостью

причем хотя бы один из скалярных коэффициентов, например не равен нулю. Тогда мы получим

А это означает, что вектор являясь произведением вектора а на скаляр коллинеарен вектору а.

Итак, два линейно зависимых вектора всегда коллинеарны.

Оба доказанных положения мы можем теперь объединить в одно.

Теорема. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Следствие. Если, между двумя неколлинеарными векторами выполняется линейное соотношение

то оба скалярных коэффициента должны равняться нулю.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление