Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Векторный потенциал.

Пусть имеется соленоидальиое ноле:

Попытаемся определить новое векторное поле

так, чтобы его ротация равнялась вектору данного поля т. е.

или

Итак, дело сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций Мы будем искать частное решение этой системы, налагая в процессе ее решения дополнительные ограничения на определяемые функции (для упрощения решения).

а) Прежде всего для упрощения положим Тогда система (17.47) примет вид

Из первого и второго уравнений мы находим

Эти выражения для удовлетворяют первому и второму уравнениям при любых функциях от двух аргументов х и у. Теперь эти функции надлежит подобрать так, чтобы удовлетворилось и третье уравнение. С этой целью мы подставим в него найденные

выражения для и . В результате будем иметь

Для дальнейшего упрощения решения положим наше уравнение перепишется так:

Мы видим, что отсюда можно определить функцию от двух аргументов удовлетворяющую этому уравнению, тогда и только тогда, когда правая часть не зависит от аргумента

Убедимся, что этот факт в пашем случае имеет место. Для этого вычислим производную по от правой части:

Итак, правая часть не зависит от и мы простым интегрированием по х находим

Положив мы окончательно получим такое частное решение нашей системы (17.47):

Получается следующая

Теорема. Вектор соленоидалъного поля является ротацией некоторого вспомогательного поля:

Определение. Вектор ротация которого равна вектору данного соленоидалъного поля называется векторным потенциалом зтого поля.

Замечания, а) Если к векторному потенциалу поля II прибавить градиент любой функции, то получится векторный потенциал того же поля. Действительно,

б) Два векторных потенциала векторного поля отличаются друг от друга на градиепт некоторой функции. В самом деле, пусть тогда

По если ротация поля равна нулю, то поле потенциально и вектор поля является градиентом потенциала, т. е.

Итак, общий вид векторного потенциала векторного поля таков:

где

и произвольная функция.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление