Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Компланарные векторы.

Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных между собой векторов.

Таким образом, компланарные векторы (и только компланарные) расположатся в одной плоскости, если их начала поместить в одну точку (рис. 22).

Заметив, что два вектора всегда компланарны, мы будем искать условие компланарности трех векторов.

Рис. 22.

Рис. 23.

Пусть из трех компланарных векторов имеющих общее начало О, два вектора не коллинеарны (рис. 28). Через конец С третьего вектора с проведем прямую, параллельную вектору до пересечения в точке А, с прямой, на которой лежит вектор а. Тогда

По суть векторы, соответственно коллипеарные векторам и потому

Следовательно, получается линейная зависимость

В исключительном случае, когда три вектора с не только компланарны, но и коллинеарпы, каждые два вектора будут связаны линейной зависимостью, которую можно рассматривать как зависимость между тремя векторами:

Итак, три компланарных вектора всегда линейно зависимы.

Пусть теперь три вектора а, b, с связаны линейной зависимостью

причем хотя бы один скаляр, например у, отличен от нуля. Тогда мы получаем

т. е. векторы ооразугот три стороны треугольника (рис. 24) и лежат в одной плоскости.

Итак, три линейно зависимых вектора всегда компланарны.

Два доказанных положения мы можем теперь объединить в одно.

Рис. 24.

Теорема. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Отсюда следует, что если выполняется линейное соотношение

между заведомо некомпланарными векторами а, b, с, то все скалярные коэффициенты должны равняться нулю;

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление