Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Линейный элемент.

Квадратом линейного элемента или фундаментальной квадратичной формой пространства называется скалярный квадрат полного дифференциала радиуса-вектора текущей точки:

Если пространство отнесено к декартовой системе координат то

Следовательно, квадрат линейного элемента в декартовых координатах выражается так:

Линейный элемент в криволинейных координатах. Пусть в рассматриваемой области пространства введена система криволинейных координат Тогда радиус-вектор текущей точки будет функцией от ее криволинейных координат

и его полный дифференциал будет иметь вид

где обозначают частные производные радиуса-вектора по криволинейным координатам В силу этого мы получим

или в сокращенной заниси

Таким образом, квадрат линейного элемента пространства всегда является однородным квадратным многочленом относительно дифференциалов координат. Поэтому его и называют фундаментальной квадратичной формой пространства. Эта форма имеет шесть коэффициентов являющихся скалярными произведениями частных производных

Геометрический смысл линейного элемента пространства состоит в том, что для произвольно взятой линии

линейный элемент

дает дифференциал дуги этой линии.

Важное значение линейного элемента определяется тем, что через его коэффициенты могут быть выражены все другие геометрические величины пространства (углы между линиями, площади поверхностей, объемы и т. д.).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление