Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Ортогональные координаты

1. Ортонормированный подвижной репер.

Мы будем теперь рассматривать такие системы криволинейных координат которые характеризуются взаимной ортогональностью векторов порожденных ими подвижных реперов:

В каждой точке пространства координатные липии такой системы пересекаются взаимно перпендикулярно. Поэтому такие координатные системы называются ортогональными. К ним относятся, в частности, декартова система и рассматриваемые ниже цилиндрическая и сферическая системы.

Вместо подвижного репера который рассматривался в общем случае, мы теперь будем рассматривать подвижной репер векторами которого служат исходящие из текущей точки взаимно ортогональные единичные векторы являющиеся ортами частных производных радиуса-вектора текущей точки по ее криволинейным координатам Такой репер называется ортонормированным. Для него

выполняются следующие соотношения:

Мы будем предполагать, что векторы образуют правую систему. Тогда будут иметь место следующие соотношения:

Рассматривая векторное поле в ортогональной системе координат, мы будем вектор поля в текущей точке разлагать по векторам ортонормировапного репера, связанного с этой точкой:

Коэффициенты в этом разложении являются проекциями вектора на орты и определяются формулами

2. Коэффициенты Ламе.

Коэффициентами Ламе соответствующими данной ортогональной криволинейной системе координат, называются модули частных производных радиуса-вектора текущей точки по ее криволинейным координатам

Таким образом,

3. Линейный элемент и элемент объема в ортогональных координатах.

Имеем

или

Отсюда, учитывая единичность и взаимную ортогональность векторов получаем для квадрата линейного

элемента выражение

Элемент объема (см. (19.9))

в силу соотношений (19.39) и (19.43) приобретает вид

4. Дифференциальные операции в ортогональной системе координат.

Исходя из общих формул для градиента (19.26), дивергенции (19.31) и ротации (19.35), на основании соотношений получаем следующие выражения для основных дифференциальных операций в ортогональной системе координат:

где

5. Оператор Лапласа в ортогональных координатах.

Лапласиан функции определяется формулой (см. (17.63) и

Пользуясь формулами (19.47), (19.48) для градиента и дивергенции, находим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление