Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

§ 1. Простейшее произведение трех векторов

1. Типы произведений трех векторов.

Из трех векторов можно составить только три различпых типа произведений.

Во-первых, можно перемножить два вектора скалярно и полученный скаляр умножить на третий вектор с. В результате получится вектор, называемый простейшим произведением трех векторов:

Во-вторых, можно перемножить два вектора векторно и полученпый вектор умножить тоже векторно на третий вектор с. В результате получится вектор,

называемый векторно-векторным или двойным векторным произведением трех векторов:

В-третьих, можно перемножить два вектора векторно и полученный вектор умножить скалярно на третий вектор с. В результате получится скаляр, называемый векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов:

Этими тремя произведениями и исчерпываются все типы произведений трех векторов. Мы изучим их подробно и установим два замечательных факта. Во-первых, мы покажем, что векторно-векторное произведепие с можно представить как разность двух простейших произведений Во-вторых, мы покажем, что векторно-скалярное произведепие выражается через попарные скалярные произведения своих сомножителей.

2. Простейшее произведение трех векторов по нашему определению получается умножением скалярного произведения двух векторов третий вектор с:

Мы видим, что в результате получается вектор, коллинеарный с третьим вектором с.

Итак, простейшее произведение трех векторов есть вектор, коллинеарный с тем своим множителем, который стоит за знаком скалярного умножения.

Из этого свойства в общем случае вытекает неравенство

которое заменится равенством лишь в том особом случае, когда векторы коллинеарны.

Итак, в общем случае простейшее произведение трех векторов не подчиняется закону сочетательности.

Этими двумя замечаниями и исчерпываются все особенности простейшего произведения, которые полезно иметь в виду.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление