Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Законы векторно-скалярного умножения

а) Закон сочетательности. Векторно-скалярное произведение трех векторов не зависит от группировки множителей, т. е.

Действительно, оба эти произведения имеют одинаковые абсолютные величины, равные объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах Знаки этих произведений также совпадают, так как если система векторов с правая, то и система а правая (см. рис. 54), если же система с левая, то и система а левая (см. рис. 55).

Следовательно, оба произведения одинаковы.

Учитывая закон сочетательности, векторно-скалярное произведение трех векторов с обозначают условно так:

Следовательно,

б) Закон круговой переместительности. Знак векторного умножения можно поставить между любой парой соседних множителей векторно-скалярного произведения. Поэтому перестановка этих множителей изменит только знак. На основании этого мы последовательно получим

Чтобы сформулировать получающийся закон переместительности, отметим на окружности (рис. 56) три точки, которые обозначим, как множители, буквами Будем считать положительным обход окружности в направлении

Рис. 56.

Мы видим (4.22), что при перестановке множителей, не нарушающей их кругового порядка, векторно-скалярное произведение не меняется, при перестановке же множителей, нарушающей круговой порядок, векторно-скалярное произведение меняет только свой знак.

в) Закон распределительности. Векторно-скалярное умножение суммы векторов на два других вектора можно выполнять почленно, т. е.

Этот закон не нуждается в доказательстве, так как непосредственно вытекает из закона распределительности скалярного произведения двух векторов.

г) Закон сочетательности относительно скалярных множителей. Скалярный множитель можно выносить за знак векторно-скалярного произведения, т. е.

Этот закоп также не нуждается в доказательстве, так как он является непосредственным следствием соответствующих законов для векторного и скалярного умножений двух векторов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление