Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Основные дифференциально-геометрические понятия, связанные с линией

1. Параметризованная линия.

Если задана линия, то можно представить себе, что по этой линии с течением времени движется текущая точка (рис. 87). В каждый момент времени эта точка занимает определенное положение на линии, т. е. время играет роль параметра, определяющего положение точки на линии. Это значит, что радиус-вектор текущей точки является функцией параметра

Обратно, если радиус-вектор текущей точки задан как функция какого-либо скалярного параметра

то его конец будет описывать линию. Иначе говоря, линия будет, определена как годограф векторной функции

Определение. Линия называется параметризованной, если радиус-вектор ее текущей точки определен как непрерывная функция скалярного параметра изменяющегося в некотором промежутке

При этом предполагается, что эта функция обладает в промежутке непрерывными производными первого, второго и третьего порядков, которые обозначаются одним из трех способов:

Уравнение (8.1), выражающее зависимость радиуса-вектора текущей точки линии от параметра называется векторным уравнением линий. Заметим, что вместо «линия» часто говорят «кривая линия» или просто кривая».

Если преобразовать параметр к которому отнесена линия

в новый параметр положив

то получится новое уравнение той же линии:

Таким образом, одна и та же линия может определяться различными уравнениями. Например, уравнения

Рис. 87.

и

определяют одну и ту же полуокружность (рис. 88).

Параметры связаны в данном случае соотношением

Заметим, что различные уравнения одной и той же линии можно истолковывать как различные законы движения точки по одной и той же траектории.

Спроектировав радиус-вектор текущей точки линии на координатные оси, мы получим систему координатных уравнений лииии

Эти уравнения определяют координаты текущей точки линии как функции параметра

Обратно, если такие функции заданы, то определится векторное уравнение линии:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление