Главная > Математика > Элементы векторного исчисления
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Бинормаль и кручение. Третья основная формула.

Прямая, перпендикулярная к касательной и к главной нормали в данной точке, называется бинормалью.

Перемножив векторно орт касательной и орт главной нормали мы получим орт бинормали, который

обозначим

Орт бинормали является инвариантным геометрическим понятием. Таким же понятием является и его производная по дуге Поэтому она должна иметь определенный геометрический смысл. Его выяснением мы и займемся.

а) Исследуем сначала направление производной Продифференцировав тождество

мы получим

откуда следует, что вектор перпендикулярен к вектору

Продифференцировав тождество

мы получим

Но и потому Следовательно,

А это значит, что вектор перпендикулярен к вектору Итак, вектор перпендикулярен к векторам Следовательно, он коллинеарен орту главной нормали и отличается от него лишь некоторым скалярным множителем, который мы обозначим К:

б) Выясним теперь геометрический смысл скалярного коэффициента Из формулы (8.41) следует:

Рассмотрим (рис. 99) орты бинормалей соответственно в данной точке и соответственно в данной точке и в бесконечно близкой точке Обозначим угол между этими ортами через Приращение орта бинормали является основанием равнобедренного треугольника с единичными боковыми сторонами и углом вершине. Поэтому

В силу этого и формулы (8.42) мы получаем

Итак,

Но предел отношения угла поворота бинормали (соприкасающейся плоскости) при переходе из данной точки в бесконечно близкую точку к длине дуги, заключенной между этими точками, есть абсолютная величина кручения кривой. При этом кручение считается положительным, если при движении вдоль линии соприкасающаяся плоскость совершает правовинтовое движение, и отрицательным, если левовинтовое.

Итак, абсолютная величина скаляра X есть абсолютная величина кручения.

Установим теперь геометрический смысл зпака скаляра Если скаляр X отрицателен, то вектор направлен в сторону, противоположную (рис. 100, а). Отсюда следует, что при движении в направлении вектор

Рис. 99.

Р будет совершать правое и нтовое движение. Если скаляр X положителен, то движение будет, очевидно, левовинтовое (рис. 100, б).

Рис. 100.

А это значит, что знакскаляра X противоположен знаку кручения Следовательво, Поэтому (8.41) можно переписать так:

Это и есть третья основная формула дифференциальной геометрии линии в пространстве.

Умножив скалярно на обе части третьей основной формулы (8.43), мы получим следующую формулу для вычисления кручения:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление