Главная > Математика > Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9.3. Интерлюдия

Теория групп — относительно новая область математики, обязанная своим рождением теории полиномиальных уравнений. Квадратные уравнения решались еще вавилонянами более чем за тысячу лет до Рождества Христова. Греки, более интересовавшиеся геометрией, не внесли большого вклада в этот предмет. Интерес к уравнениям вновь возник у арабов, которые искали пути решения полиномиальных уравнений третей степени, т.е. кубических уравнений. Однако реальный прорыв в этом направлении произошел только в эпоху Возрождения в Италии.

История открытия формулы корней полиномиальных уравнений степени 3 и 4 изобилует интригами и предательством. Все началось со Сципиона дель Ферро (Scipione del Ferro), профессора Болонского Университета, одного из старейших университетов средневековья. Неизвестно, когда дель Ферро

нашел метод решения кубических уравнении, но перед своей смертью (около 1526 года) он передал секрет формулы своему ученику, Антонио Мария Фиоре (Antonio Maria Fior).

Это было время, когда состязания в мастерстве между учеными были обычным делом, и Фиоре послал вызов Никколо Тарталья (Niccolo Tartaglia) («заике»), профессору математики в Венеции. Суть предложенного Фиоре «мат-боя» заключалась в том, что оба участника к определенному дню должны были ответить на 30 вопросов, поставленных соперником, а проигравшему предстояло оплатить 30 банкетов. Незадолго до окончания срока на Тарталья снизошло вдохновение: он открыл свой собственный способ вычисления корней кубического уравнения и в течение нескольких часов сделал все предложенные задачи. Фиоре был не в столь хорошей форме и оказался неспособным решить большинство проблем, сформулированных его противником. Таким образом, Тарталья провозгласили победителем, но он по-джентльменски отказался от заслуженного выигрыша — чести победителя ему было достаточно.

Триумф Тарталья привел к его встрече с Джироламо Кардано (Gerolamo Cardano), известным врачом, математиком и астрологом. Тарталья рассказал Кардано подробности своего решения кубических уравнений, но взял с того клятву, сохранить в тайне полученные сведения. Кардано развил метод Тарталья и в конце концов опубликовал его в своем труде «Великое искусство» в 1545 году. Кроме решения кубических уравнений, книга содержала метод сведения уравнения четвертой степени к кубическому. Последний результат был получен Луиджи Феррари (Lodovico Ferrari), другом и секретарем Кардано.

Само собой разумеется, этот поступок сильно разгневал Тарталья. Он обвинял Кардано в плагиате, и даже

опубликовал историю, включавшую полный текст клятвы. Почему же Кардано нарушил обещание? Причина проста: ему стало известно, что дель Ферро открыл ту же самую формулу раньше Тартальи. И этот факт, по представлению Кардано, освободил его от клятвы, позволив опубликовать результаты. В книге он ясно заявляет, что метод решения кубических уравнений был впервые найден дель Ферро, и позже переоткрыт Тарталья.

Следующие 300 лет математики напрасно искали аналогичные методы решения уравнений степени выше четвертой. Они хотели найти формулу, которая выражала бы зависимость корней полиномиального уравнения от его коэффициентов. Однако в записи формулы допускались только такие операции, как сложение, вычитание, умножение, деление, и извлечение корней. Соответствующая формула традиционно называется решением уравнений в радикалах».

Беда в том, что наложенные ограничения делают задачу неразрешимой. Первое полное доказательство неразрешимости дал норвежский математик Н. Г. Абель (Abel, N. Н.) в 1824 году. Абель внес большой вклад в многие области математики, особенно в анализ и алгебраическую геометрию. Теперь мы говорим об абелевых группах, абелевых функциях и теореме Абеля о сходимости ряда. Его достижения тем более удивительны, что умер он от чахотки не дожив до своего двадцать седьмого дня рождения. Известность Абеля столь велика, что в его честь была установлена статуя в Королевском Парке в центре Осло.

Точку в проблеме решения уравнения в радикалах поставил современник Абеля, Э. Галуа (Galois, Е.). Он показал, что каждому полиномиальному уравнению соответствует конечная группа, которая полностью определяет, решается ли уравнение в радикалах. Так как группа конечна, то, по крайней мере в принципе, можно написать алгоритм решения этого вопроса для каждого конкретного уравнения.

Жизнь Галуа даже более трагична, чем судьба Абеля. Его отец покончил с собой по политическим мотивам; его работа была непонята членами Парижской Академии Наук и он умудрился провалиться на вступительном экзамене в Политехническую школу: Галуа был настолько разъярен глупостью экзаменаторов, что запустил тряпкой для стирания с доски в одного из них! Поскольку он нуждался в деньгах, ему пришлось поступить на работу в Нормальную школу. В то время Франция была монархическим государством, а Галуа — пылким республиканцем. Его политическая деятельность привела к увольнению из школы.

Во время эпидемии холеры 1832 года он находился в тюрьме из-за своих политических убеждений, и был переведен в госпиталь. Там он влюбился в девушку, но о той истории мало известно. Факт в том, что вскоре после этого он был вызван на поединок. Причины дуэли неясны. Недавние исследования позволяют предположить, что угнетенный положением дел и недостаточным признанием своих работ, он, возможно, предпочел умереть за идеи республиканцев. Предполагалось представить его смерть как акт злодеяния приверженцев монархии и использовать как повод для начала восстания в процессе его похорон. Трагедия не оставила Галуа даже здесь. Во время похорон лидеры движения прослышали о смерти генерала Ламарка. На погребении известного генерала должна была собраться большая толпа, и было решено, что целесообразнее задержать восстание до этого момента. Поэтому похороны Галуа прошли тихо и спокойно.

В ночь перед дуэлью, предчувствуя приближающуюся кончину, Галуа пишет предсмертное письмо своему другу, Огюсту Шевалле (Chevalier). После обзора своих открытий, заканчивая письмо, он пишет:

«Попросите Гаусса или Якоби (Jacobi) публично выразить свое мнение. Не о верности, а о важности этих теорем. Позже, я надеюсь, найдутся люди,

которые смогут извлечь пользу при разборе всей этой путаницы.»

Смертельно раненый Галуа был оставлен на поле чести. Только спустя несколько часов проходящий мимо крестьянин заметил его и перенес в больницу. Единственным членом семьи, которого уведомили о надвигающейся смерти Галуа, был его младший брат. На пороге смерти Галуа нашел силы, чтобы сказать ему: «Не плачь, мне нужна вся моя храбрость, чтобы умереть в двадцать лет.»

Жозеф Лиувилль (Liouville, J.) был тем человеком, кто наконец «разобрался в путанице» и представил миру замечательные результаты, которые лежали без движения среди прочих бумаг Галуа. В 1846 году Лиувилль опубликовал все математические статьи, оставленные Галуа, включая предсмертное письмо — не более 64 напечатанных страничек. Герман Вейль (Weyl, Н.), один из самых великих математиков двадцатого столетия, оценивает письмо к Шевалле следующими словами:

«Это письмо, учитывая новизну и глубину идей, которые оно содержит, является, возможно, наиболее существенной частью всего написанного человечеством.»

Нет ничего удивительного в том, что Галуа в наши дни считается одним из основателей современной алгебры. Ведь это именно он разработал концепцию групп (и дал им название), имеющую огромную важность в современной науке. О работах Галуа можно узнать в книге [16], которая близко придерживается подхода Галуа к теории уравнений. Современный способ изложения того же материала предложен в [6]. Для исторического освещения теории полиномиальных уравнений можно обратиться к [48] ([Д-9]). Поздняя биография Галуа, содержащая детальный отчет о поединке, приведена в [44] ([Д.5]).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление