Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

26. Задача вычисления среднего движения волнового пакета.

По законам Ньютона движение описывается (классически) уравнениями

В квантовой теории нельзя даже определить производных от в классическом смысле, так как здесь отсутствует какая-либо непрерывная траектория частицы (см. гл. . Ближайшей величиной к производным является скорость изменения средних значений со временем. В классическом пределе, где шириной волнового пакета можно пренебречь, эти величины становятся равными значениям, рассчитанным классически. Это условие легче всего удовлетворить требованием, чтобы в квантовой теории ньютоновские законы

движения были справедливы при выражении их через средние величины Поэтому имеем

Первое уравнение означает, что скорость изменения среднего импульса равна средней силе; второе — что скорость изменения средней координаты рвна средней величине

Вычислим из уравнения (9.36). Заметим, что Для нас удобнее записать где оператор, равный нулю в отсутствие сил. (См. уравнение (3.29) — уравнение Шредингера для свободной частицы.) Мы получаем

Так как коммутирует с то получаем заменив

или

Формула верна для произвольной функции Проще всего удовлетворить этому соотношению, если принять В более общем виде, можно положить где

для произвольной функции Но это возможно при произвольном только, если следовательно, если (см. теорему в п. 21). Итак, в общем случае, мы получаем

Покажем далее, что при удовлетворении уравнения

Чтобы сделать это, запишем (замечая, что

Но Следовательно, мы получаем

Для удовлетворения уравнения (9.44) необходимо, чтобы

для произвольной функции Это возможно только при условии Легко убедиться, что нет ни одной функции от удовлетворяющей этому условию, кроме постоянной. Например,

Следовательно, добавляет к самое большее — постоянную величину, и ее при желании можно включить в Итак, мы доказали, что ньютоновские уравнения движения удовлетворяются для средних значений, если является решением следующего волнового уравнения:

Эренфест впервые показал, что это волновое уравнение удовлетворяет ньютоновским уравнениям движения для средних значений, вот почему этот результат называют теоремой Эренфеста.

Если записать этот результат в операторной форме, то получим

Таким образом, оператор является классической функцией Гамильтона, в которой заменено на

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление