Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12. Собственные значения и собственные функции операторов.

Мы видели, что в общем случае, когда система находится в данном квантовом состоянии, т. е. когда задана волновая функция, наблюдаемую величину любой переменной нельзя предсказать точно — она флуктуирует около некоторого среднего значения от одного измерения к другому. Можно ли привести систему в такое квантовое состояние, в котором некая переменная имеет определенное, предсказываемое и воспроизводимое значение без флуктуаций? Да, это возможно.

Для того чтобы переменная О имела одну и ту же величину при всех наблюдениях, необходимо, во-первых, чтобы ее средняя флуктуация равнялась нулю, т. е.

Во-вторых, необходимо, чтобы среднее значение любой функции О равнялось этой же функции от среднего значения, т. е.

Если это условие не соблюдается, то можно сделать вывод, что есть моменты, когда О отклоняется от средней величины.

Ясно, что одним из способов удовлетворения этому условию является такой выбор функции

где С — константа. Если это соотношение удовлетворяется, то С называется собственным значением или, характеристическим значением, оператора О, а называется собственной функцией, или характеристической функцией, принадлежащей собственному значению С.

Если уравнение (10.29) удовлетворяется, то, так как нормирована, мы имеем

Аналогично имеем

Следовательно, для произвольной функции, выраженной в виде степенного ряда, мы получаем

Итак, если собственная функция оператора О, то среднее значение произвольной функции О равно этой функции от среднего значения. Следовательно, отсутствуют флуктуации в величине О. Однако это не означает, что нет флуктуаций в величинах других операторов. Напротив, когда наблюдаемая величина, например импульс имеет заданное определенное значение, то мы уже знаем из соотношения неопределенностей, что сопряженная переменная х должна быть полностью неопределенной.

Можно показать, что если не является собственной функцией оператора О, то величина О должна обладать некоторой флуктуацией.

Задача 9а. Доказать вышеприведенное положение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление