Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

13. Примеры собственных функций и собственных значений в координатном пространстве.

1) Оператор импульса. Собственные функции оператора импульса находятся из решения уравнения

где постоянная. Мы получаем

— хорошо известную плоскую волну, которая представляет состояния с определенным импульсом собственное значение, собственная функция).

Строго говоря, вышеприведенную собственную функцию в общем случае нельзя нормировать к единице, потому что интегральная вероятность расходится. Вспомним, однако, гл. 3, п. 2, что

в любой реальной задаче волновая функция должна принимать форму пакета, поскольку, как известно, частица существует где-то внутри определенной области пространства, а именно в пространстве, занятом аппаратурой. Чтобы получить ограниченный и поэтому нормированный пакет, можно произвести интегрирование по импульсам с соответствующим весовым фактором, как в уравнении (3.3). Однако практически такой пакет может стать настолько большим по сравнению с любыми физически допустимыми размерами, что мы обычно можем пренебречь его ограниченным характером, пользуясь почти любой величиной в качестве нормировочного коэффициента. Точно так же, неопределенность импульса в пакете может быть сделана столь малой, что ею можно пренебречь в удовлетворительном приближении. Поэтому мы часто будем рассматривать волновые функции в виде понимая, что фактически они относятся к пакетам очень широким в координатном пространстве и соответственно узким в пространстве импульсов.

2) Оператор энергии. Для свободной частицы энергия Поэтому уравнение для собственной функции имеет вид

Его решение равно

где произвольные постоянные.

Другими словами, каждому собственному значению принадлежат две линейно независимые собственные функции, которые можно сложить в произвольной линейной комбинации. Используя равенство мы видим, что эти две собственные функции имеют вид в соответствии с двумя возможными направлениями импульса, которые может иметь частица с заданной энергией. Этот результат имеет место для случая одного измерения. Для случая трех измерений имеется бесконечное число направлений, соответствующих заданной энергии, и поэтому бесконечное число собственных функций, принадлежащих одному собственному значению

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление