Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

14. Вырожденные операторы.

Если более чем одна независимая собственная функция принадлежит данному собственному значению, то оператор называется вырожденным для этого собственного значения. Например, собственные значения оператора имеют двукратное вырождение в одномерной задаче и бесконечную кратность вырождения в трехмерном пространстве.

Если только одна линейно независимая собственная функция принадлежит каждому собственному значению оператора, то последний

называется невырожденным. Например, невырожденный оператор.

3) Собственная функция оператора х. Мы видели, что операторы и имеют довольно простые собственные функции в координатном пространстве. Что можно сказать об операторе Ясно, что если взять любую непрерывную функцию от х, то оператор х умножает ее на переменное число, и потому по определению никакая непрерывная функция от х не может быть собственной функцией оператора х. Нам нужна такая функция, которая умножается на то же самое число независимо от величины х, т. е.

где С — постоянная. Единственная функция, удовлетворяющая этому условию, должна равняться нулю повсюду, кроме точки Эта функция весьма необычна, ее лучше рассматривать как предел обычной. В качестве примера можно взять функцию, изображенную на рис. 26.

Рис. 26.

Функция равна нулю везде, кроме области где она равна . Чтобы нормировать ее к единице, полагаем

или

При поэтому в пределе функция равна нулю повсюду, кроме точки и равна бесконечности при но при этом стремится к бесконечности таким образом, что волновая функция остается нормированной.

Есть много различных видов функций, приближающихся к собственным функциям оператора х. Например, рассмотрим предел нормированной функции Гаусса

При но независимо от При малых эта функция стремится к функции с острым пиком шириной и высотой

Задача 10. Показать, что стремится к собственной функции х при Вычислить константу А так, чтобы нормировать вероятность.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление