Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

12. Графическая интерпретация решений.

Можно дать простую графическую картину, которая позволяет легко понять общий характер всех этих различных видов решений. Рассмотрим волновое уравнение (11.2) для одномерного случая

Это уравнение определяет вторую производную волновой функции через и Когда (положительная кинетическая энергия), вторая производная противоположна по знаку самой функции Поэтому вогнута по отношению к оси х, так что волновая функция будет стремиться осциллировать. (Этот результат находится в согласии с точным решением

Чем больше тем больше кривизна и тем более быстро она осциллирует.)

Однако когда то имеет тот же знак, что и т. е. обращена выпуклостью к оси х. Это означает, что если возрастает, то она будет возрастать даже еще более быстро, так как наклон должен быть всегда возрастающим. (Это находится в согласии с точным решением

Чем больше тем более быстро меняются экспоненциальные функции.)

Рассмотрим теперь связанные состояния в прямоугольной яме. Когда (рис. 45), мы начинаем с экспоненциального решения, которое возрастает с возрастанием х и искривляется вверх. В точке кинетическая энергия становится положительной, и так как положительна, кривизна становится отрицательной.

Волновая функция тогда начинает искривляться обратно по направлению к со скоростью, зависящей от разности Если достаточно велика, то наклон будет отрицательным в момент достижения точки При функция начинает снова загибаться вверх, так как отрицательна разность При произвольном выборе она будет в конце концов возрастать без связей, и поэтому решение становится невозможным.

Рис. 45.

Только в том случае, если таково, что наклон соответствует требуемому нйклону убывающей экспоненциальной функции

решение будет оставаться связанным при Поэтому только определенным значениям будут соответствовать связанные состояния. Эти значения и будут собственными значениями задачи.

Если потенциал очень велик, то может переходить в спадающую экспоненциальную функцию при после одного или большего числа колебаний. Это будут добавочные связанные состояния. Такие возможности показаны на рис. 46. Чем больше тем больше, в общем случае, число таких возможностей.

Рис. 46.

Каждое решение может быть описано с помощью ряда нулей (или узлов), которые имеет волновая функция. Например, первое решение, как уже упоминалось, не имеет узлов, второе решение имеет один узел, третье — два и т. д. Обычно число узлов в решении равно числу в равенстве (11.64).

Решение для волновой функции. Для каждого значения для которого существует решение уравнения (11.63), можно теперь определить волновую функцию. Заметим, что когда известно,

то также известны. Это означает, что уравнения (11.57а) и (11.606), определяющие волновую функцию внутри ямы, могут быть теперь решены, так как полная волновая функция может быть выражена через одну постоянную определяемую уравнением (11.58). Постоянная может быть оценена нормировкой волновой функции.

Задача 9. Показать, найдя выражения для волновой функции, что число узлов равно

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление