Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Формулы связи.

Для рассмотрения задачи проникновения через барьер, когда применимо приближение ВКБ, нужно найти связь решений для областей, где и где Рассмотрим, например, потенциальный барьер, изображенный на рис. 48.

Рис. 48.

Предположим, что энергия частицы такова, что в точке . С классической точки зрения частица замедлится до нулевой скорости в этой точке и затем повернет назад. Однако если следовать квантовомеханическим представлениям, то волна проникнет на некоторое расстояние далее внутрь барьера.

К сожалению, приближение ВКБ нельзя использовать в области вблизи точки так как при условия его применимости нарушаются (см. уравнения (12.4)). Таким образом, если, например, исходить из такого решения

которое является хорошим приближением к точным решениям на некотором расстоянии вправо от точки на достаточном

расстоянии влево от точки а приближенное решение (это все, что мы знаем) будет иметь вид

где неизвестные постоянные и Значения не могут быть найдены с помощью только лишь приближения ВКБ, так как они определяются характером решения в области, где неприменимо это приближение. Чтобы получить значения нужно знать решение в области вблизи точки . В общем случае это очень сложная задача, которая решается численными методами. Однако если приближение ВКБ применимо на некотором расстоянии от точки то нужно только найти лучшее решение для малой области вблизи точки а и распространить его на область, где справедливо приближение ВКБ. Если область вблизи достаточно мала, то потенциальную функцию внутри нее можно приближенно представить прямой линией с наклоном, равным наклону потенциальной кривой в классической точке поворота . Так как в точке то можно записать

где С — постоянная, равная Таким образом, в этой области уравнение Шрёдингера приближенно сводится к следующему:

Это уравнение еще весьма сложно для решения, оно может быть решено с помощью бесселевых функций порядка После того, как оно решено, нужно распространить решение достаточно далеко от точки где становится применимым приближение ВКБ, и затем сомкнуть решение в каждой области с соответствующим приближением ВКБ. Таким путем могут быть определены постоянные Мы не будем здесь вдаваться в детали этой процедуры, а только сошлемся на результаты (см. [29], описание различных методов дано в [30], стр. 95).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление