Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

9. Формулы связи.

Случай А: потенциальный барьер — справа.

Предположим, что справа от точки и пусть Далее, для точки, достаточно удаленной от , в этой области рассмотрим приближенное

решение в виде убывающей экспоненциальной функции, а именно

Достаточно далеко слева от точки а формула связи устанавливает, что это решение стремится к

Аналогично для решения, возрастающего экспоненциально справа от точки можно показать, что существует следующая связь:

Случай Б: потенциальный барьер — слева.

Удобно записываются формулы для случая, когда классически запретная область лежит слева от точки

Для решения, убывающего экспоненциально слева от точки , мы найдем следующую формулу связи:

Если волновая функция возрастает экспоненциально слева от точки то

Следует отметить, что решение в области, где не является простым продолжением решения в области Например, продолжением функции является функция в то время как фактическое решение в области содержит множитель

т. е. имеет вид двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

Нужно также заметить, что формулы связи способны нам дать только соотношение между решениями для областей, лежащих на некоторых расстояниях справа и слева от точки возврата Для получения. формы волновой функции в промежуточной области нужно обратиться к точному решению, которое включает бесселевы функции порядка Однако для практических целей в большинстве случаев несущественно знание точной формы решения в промежуточной области, единственное, что требуется знать, это — формулы связи.

Точные математические условия, при которых можно строго доказать формулы связи, чрезвычайно сложны Мы ограничимся здесь утверждением, что для всех практических случаев, которые когда-либо встретятся нам, выполняются следующие требования:

1) Должны существовать области с той и другой стороны от точки возврата, содержащие много длин волн, в которых применимо приближение ВКБ.

2) В области около точки возврата (при ), в которой неприменимо приближение ВКБ, кинетическую энергию можно приближенно представить прямой линией . Иными словами, потенциал не должен претерпевать больших относительных изменений в наклоне внутри этой области. Область, в которой приближение ВКБ неприменимо, должна распространяться по крайней мере до первого узла волновой функции или, что еще лучше, содержать несколько первых колебаний. Внутри потенциального барьера приближение ВКБ станет применимым, после того как интеграл станет заметно больше единицы.

Существуют два типа задач, в которых формулы связи нарушаются. Первый из них соответствует случаю, когда энергия частицы такова, что ее классическая точка возврата находится вблизи вершины барьера, где наклон потенциала мал. В результате линейная аппроксимация для потенциала нарушается, и формулы связи должны быть изменены (подробнее об этом см. [30], стр. 103—112). Такой потенциал показан на рис. 49. Для энергий, достаточно близких к вершине барьера, формулы связи

Рис. 49.

несправедливы. Но для более низких энергий они справедливы, так как потенциал можно приближенно представить прямой линией.

Задачи второго типа возникают, когда наклон потенциала изменяется очень быстро, например в случае прямоугольной потенциальной ямы. Для такого потенциала наклон везде равен нулю, кроме точек разрыва, где он равен бесконечности. Формулы связи также нарушаются и для потенциала типа, показанного на рис. 50. Чтобы решить эту задачу, нужно использовать точное решение волнового уравнения в каждой области и «сшить» эти решения на границах этих областей.

Рис. 50.

Здесь уместно сделать несколько замечаний о направлениях стрелки в формулах связи. Строго говоря, стрелка должна указывать только направление, в котором возрастает вещественная экспоненциальная функция. Причиной этого является то, что ввиду некоторой недостаточности приближения ВКБ всегда есть возможность ввести наряду с любым данным решением некоторое другое решение. Если мы связаны с направлением возрастания экспоненциальной функции, то другое решение экспоненциально убывает в этом направлении, и поэтому оно приводит к малой поправке в волновой функции. С другой стороны, если мы связаны с направлением убывания экспоненциальной функции, то другое решение будет экспоненциально возрастать и может поэтому стать много больше, чем убывающее решение, даже если коэффициент, на который оно умножается, очень мал. Однако можно легко показать, что при определении энергетических уровней (виртуальных или фактических) этот эффект приводит к очень малой ошибке, поэтому обычно можно ставить стрелки в обоих направлениях, хотя строгое доказательство этого и может представлять некоторые трудности. Однако если для заданной энергии желательно очень точно узнать волновую функцию, то можно ставить стрелку только в направлении возрастания вещественного экспоненциала.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление