Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

15. Волновые пакеты.

Использование -функции предполагает существование волнового пакета, идеально точно локализованного, а потому представляет собой абстракцию. Интересно проследить движение волнового пакета, который первоначально был конечной протяженности. Рассмотрим, например, частицу, которая первоначально локализована в виде пакета

Это пакет с центром в точке

Для того чтобы найти, как меняется со временем мы должны раньше всего разложить в ряд по собственным функциям энергии а затем умножить собственную функцию на

(см. уравнение (10.73)). Для разложения в ряд по полиномам Эрмита — Чебышева нужно было бы пользоваться уравнением (13.43). Но, к счастью, порождающая функция дает нам готовое разложение этого частного типа функции. Полагая и используя уравнение (13.30), получаем

Функции являются собственными функциями гамильтониана, соответствующего энергии Поэтому волновая функция принимает вид

Перепишем теперь вышеприведенную функцию и получим (пользуясь определением порождающей функции)

Полагая получаем

Плотность вероятности равна при этом

Мы видим, что центр волнового пакета движется по классической траектории (т. е. ). Этого результата более или менее следовало ожидать, так как уравнение Шрёдингера в среднем приводит к классическим уравнениям движения. Но есть и необычная черта в движении этого пакета, а именно он не изменяет своей формы со временем. Нормально следовало ожидать, что волновые пакеты расплываются со временем, но с данным частным видом пакета этого не происходит. Мы не имеем возможности выяснить здесь полностью

причины этого необычного поведения, но можно сказать, что это обусловлено специфичностью волновых функций гармонического осциллятора, которой нет ни в какой другой системе. Некоторые сведения о причине такого поведения можно получить, если рассмотреть любую волновую функцию гармонического осциллятора, зависящую от времени, которая разложена по собственным функциям

Образуем теперь функцию

Все слагаемые в или постоянны по времени, или колеблются гармонически с частотой, кратной основной частоте Таким образом, значение волновой функции повторяется после прохождения основного периода. В результате волновой пакет не расплывается бесконечно, так как через каждый период он должен вернуться к первоначальной форме.

Так как для гармонического осциллятора частота колебаний каждого члена в уравнении (13.54) кратна частоте то ясно, что возникает периодичность (а также ). Для любой системы, отличной от гармонического осциллятора, некоторые члены волновой функции должны колебаться с частотой, не кратной основной частоте, и функция не будет полностью периодической.

Следовательно, для гармонического осциллятора и только для него можно ожидать периодических волновых пакетов. Однако в общем случае даже в гармоническом осцилляторе форма волнового пакета не будет оставаться абсолютно постоянной по времени. Частный вид волнового пакета, который мы выбрали, является необычным в том смысле, что он имеет ту же волновую функцию, что и наинизшее состояние осциллятора, с тем лишь исключением, что его центр смещен на величину Можно показать, что это свойство и обусловило постоянство формы для нашего случая, но мы не будем здесь этого делать.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление