Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19. Физическая эквивалентность всех систем координат.

Для доказательства физической эквивалентности любого выбора направления оси надо только показать, что одну и ту же волновую функцию можно аналогичным образом выразить во всех системах координат. Рассмотрим, например, произвольную волновую функцию, соответствующую

где индексы относятся к различным значениям

Задача 7. Доказать, что для нормировки должно выполняться равенство

Для вращающейся системы получаем

где величины со штрихом относятся к осям, которые повернуты на угол (3 вокруг старой оси у.

Задача 8. Доказать, что

Таким образом, мы видим, что одну и ту же функцию можно разложить в ряд по собственным функциям причем направление берется произвольно. Для каждой системы координат только требуются различные коэффициенты разложения, но процедура разложения та же самая. Так как состояние системы зависит только от волновой функции, то очевидно, что квантование в определенном направлении фактически не придает этому направлению каких-либо особых свойств и что можно получить те же самые результаты для всех физических величин при квантовании в любом другом направлении.

В качестве примера рассмотрим опыт Штерна и Герлаха, который до сих пор описывался как квантование момента количества движения вдоль направления магнитного поля. Хотя такой выбор направления безусловно наиболее удобен, легко показать, что те же самые результаты можно получить в любой другой системе.

Для этого рассмотрим оператор фигурирующий в уравнении (14.68), и выберем ось в направлении, не обязательно совпадающем с направлением поля Для простоты примем но обобщение на произвольное можно сделать очень просто. Итак, имеем

Теперь частица может испытать определенное отклонение только в том случае, если ее волновая функция является собственной функцией оператора Однако легко показать, что собственные функции оператора в точности совпадают с собственными функциями оператора с осью взятой вдоль направления магнитного поля.

Задача 9. Доказать это положение.

Это означает, что, хотя использовалась произвольная система координат, мы пришли к выводу, что только частицы с определенной составляющей вектора в направлении получат определенное отклонение. Волновую функцию всегда можно разложить в ряд по трем рассматриваемым собственным функциям (при и коэффициенты в этом разложении дают вероятность данного отклонения в этом направлении. Итак, физические результаты не зависят от системы координат, в которой решается задача.

Физически этот вывод следует понимать с помощью представления о свойствах материи как не полностью определенных потенциальных возможностях, которые реализуются только при взаимодействиях с другими системами (см. гл. 6, п. 13 и гл. 8, п. 15). Так, когда атом имеет определенное значение он имеет неопределенные значения Однако имеется также скрытая возможность проявления определенных, но не полностью предсказываемых значений либо для либо для при условии, например, что атом взаимодействует с соответствующим образом ориентированной аппаратурой Штерна и Герлаха. При этом он, конечно, будет обладать неопределенным значением Это положение о некоммутирующих переменных как взаимно несовместимых потенциальных свойствах материи качественно объясняет инвариантность физического смысла квантовомеханического понятия момента количества движения при изменении направления, в котором выбирают ось. Положение об инвариантности к повороту содержится в утверждении, что любая ось служит направлением, в котором возможно проявление определенной составляющей момента количества движения, если электрон взаимодействует с соответствующей системой.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление