Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Непрерывные матрицы.

До сих пор мы рассматривали разложение произвольной волновой функции лишь с помощью дискретного ряда функций и поэтому получали дискретные матрицы. Если разложить в ряд по непрерывным ортонормированным функциям, то получим непрерывные матрицы. В качестве примера рассмотрим интеграл Фурье. Имеем

где ортонормированные функции образуют теперь непрерывную совокупность являются соответствующими коэффициентами

разложения. Матричный элемент можно выразить по аналогии с уравнением (16.2) в виде

- непрерывная функция от но ее можно рассматривать как предел дискретной квадратной таблицы, в которой элементы по своим величинам могут все больше и больше сближаться друг с другом. Итак, мы получили представление о непрерывной матрице.

В более общем виде можно воспользоваться любой непрерывной совокупностью

Непрерывные матрицы можно истолковывать точно так же, как и дискретные матрицы. Так, оператор А можно выразить следующим образом:

где

Легко показать, что единичная матрица превращается в -функцию Дирака а диагональная матрица принимает вид Можно вывести также следующее правило умножения непрерывных матриц:

Задача 9. Доказать это правило умножения непрерывных матриц. Примеры, а) В импульсном представлении выражается диагональной матрицей

Как показывает уравнение (10.446), -функцию можно выразить следующим интегралом Фурье:

Очень часто такое выражение -функции весьма удобно.

б) В координатном представлении х выражается диагональной матрицей

в) В координатном представлении оператор является внедиагональной матрицей. Чтобы получить матрицу в этом представлении, можно использовать уравнение (16.2), которое определяет элемент матрицы, связанной с любыми двумя волновыми функциями. Пусть надо получить матричный элемент оператора связанный с собственными функциями оператора х, а именно Этот матричный элемент равен

На первый взгляд кажется, что диагональная матрица, так как ее элементы равны нулю при Но согласно все диагональные матрицы должны коммутировать. А нам известно, что операторы их не коммутируют. В чем же причина такого парадокса?

Чтобы получить ответ на этот вопрос, необходимо тщательно исследовать характер сингулярных непрерывных матриц, т. е. таких, которые имеют бесконечные члены вроде Для придания этим членам физического смысла нужно рассматривать их как пределы конечных функций с острым максимумом, соответственно тому, что было показано в гл. 10, п. 14. Величина фактически является пределом функции, равной нулю при и состоящей из двух смежных очень острых пиков противоположного знака, которые расположены по обе стороны от точки Эта функция не является диагональной матрицей. Итак, мы видим, что некоммутативность операторов их сохраняется и в матричном представлении.

Задача 10. Рассматривая -функцию и ее производную как предел подходящих функций с острым пиком, получить с помощью непрерывных матриц перестановочное соотношение

Задача 11. Получить матричное выражение оператора которое представляется уравнением

где С — постоянная,

а) в координатном представлении;

б) в импульсном представлении.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление