Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

19. Уравнение Шредингера в произвольном представлении.

Мы приходим, таким образом, к выводу, что выражение волновых функций и операторов через координаты х и импульсы надо рассматривать как частные случаи более общего метода, который сводится к определению коэффициентов в матричном выражении волновой функции в виде столбцов. Действительно, волновую функцию в координатном представлении можно рассматривать точно так же, как волновую функцию в матричном представлении в виде

столбца. Используя собственные функции оператора координат имеем

Следовательно, функции можно рассматривать так же, как если бы они были записаны в виде столбца

где значения могут в пределе стать бесконечно близкими.

Уравнение Шредингера можно теперь рассматривать как уравнение для коэффициентов разложения Если изменить наше представление, воспользовавшись собственными функциями некоторого другого оператора А, который для удобства принят дискретным, то будем иметь Тогда аналогом уравнения Шрёдингера будет уравнение, определяющее временнбе изменение коэффициентов

Это уравнение получим из уравнения Шредингера в координатном представлении

Выразим теперь в виде ряда по функциям Так как является функцией времени, то тоже должны быть функциями времени. Тогда получаем

Умножим это уравнение почленно на и проинтегрируем по всем х. Тогда получаем (использовав условие ортонормировки функций

где

Это уравнение полностью определяет изменение коэффициентов во всех случаях, когда известно для какого-то одного момента времени.

Задача 14. Показать, что уравнение (16.42) можно получить с помощью унитарного преобразования из уравнения Шредингера в координатном представлении, причем матрицей преобразования является функция (собственные функции оператора А в -представлении). Эта функция рассматривается как матрица в переменных а их, хотя по отношению к одной она дискретна, а по отношению к другой она непрерывна.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление