Главная > Физика > Квантовая теория
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА 19. ВОЗМУЩЕНИЯ В СЛУЧАЕ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ

1. Введение.

Ясно, что если энергетические уровни вырождены, то развитая до сих пор теория возмущений неприменима к возмущениям, длящимся долгое время. Как мы видели, между вырожденными энергетическими уровнями происходят необратимые процессы, т. е. по существу различные вырожденные собственные состояния все перемешаны друг с другом, и неверно предположение, что волновая функция близка к своему первоначальному виду. Аналогично в методе расчета возмущения для стационарных состояний разность энергий в знаменателе уравнения (18.117) равна нулю, и мы опять приходим к выводу, что влияние возмущений может быть велико даже при малых

Проблема возмущений для вырожденных состояний очень важна, так как она возникает во множестве различных систем. Ниже приводится краткий перечень некоторых распространенных видов вырождения, с которыми мы до сих пор встречались.

1) Для свободной частицы энергия зависит только от абсолютной величины импульса а не от направления. Это вырождение снимается (по крайней мере частично) в присутствии потенциала.

2) При сферически симметричном потенциале энергия вырождена по отношению к изменению компоненты (или какой-либо другой компоненты) момента количества движения, если предположить, что полный момент постоянен. Это вырождение снимается, если сделать гамильтониан зависящим от угла, т. е. в присутствии внешнего электрического поля, другого атома или магнитного поля.

3) В кулоновском поле энергия вырождена по отношению к изменению квантового числа полного момента если главное квантовое число зафиксировано. Это вырождение снимается внешним электрическим полем (эффект Штарка) или отклонением сферического потенциала от кулоновской формы (см. гл. 18, п. 54).

4) В трехмерном гармоническом осцилляторе энергия будет вырождена, если частоты колебаний в направлениях трех главных осей не являются линейно независимыми (см. гл. 15, п. 16).

Как мы будем решать задачу теории возмущений для вырожденных систем? Прежде всего надо пренебречь всеми переходами между невырожденными состояниями и точно решить получившиеся уравнения, принимая во внимание только переходы между состояниями с одинаковой энергией. Это называется решением «нулевого порядка». В следующем приближении нужно воспользоваться решениями «нулевого порядка» и применить к ним, а уже не к первоначальным собственным функциям обычную теорию возмущений. Законность такой процедуры оправдывается тем, что переходы к уровням энергии, отличным от первоначальных, вызывают, как мы видели, сравнительно небольшие изменения в волновой функции. Поэтому сначала целесообразно рассчитать большие эффекты, обусловленные возмущениями вырожденных состояний, а затем рассмотреть сравнительно малые эффекты от возмущений невырожденных состояний.

2. Пример: двукратно вырожденный уровень.

Для иллюстрации описываемого метода предположим, что имеется двукратно вырожденный энергетический уровень, для которого невозмущенные собственные функции равны и а общая энергия равна Вернемся теперь к уравнению (18.114) и рассмотрим только члены, содержащие временно пренебрегая всеми другими членами. Мы получим тогда следующие уравнения:

Получено два однородных алгебраических уравнения с двумя неизвестными. Решение этой системы существует, если детерминант из коэффициентов при С равен нулю. Замечая, что получаем

Это квадратное относительно уравнение имеет два решения. Конечно, одновременно всегда нужно выбирать только одно из них. Для упрощения предположим, что и равны между собой. Такое упрощение не приводит к существенному нарушению общности результатов. В итоге получаем

где

Из уравнений (19.1а) и (19.16) находим

Нулевое приближение волновых функций дается выражением

Задача 1. Доказать, что написанные выше функции нормированы, если нормированы и ортогональны.

Приближенные значения энергии, соответствующие функциям (19.5), согласно уравнению (19.3), равны

Задача 2. Решить задачу для если и не равны.

Обычно принимают, что поэтому ниже, если не будет специально оговорено, мы будем принимать

3. Интерпретация полученных результатов.

Первый важный результат сводится к тому, что при длительно действующем возмущении приближенные волновые функции претерпевают большое изменение. Действительно, новые стационарные состояния имеют одинаковую смесь состояний поэтому равновероятно найти систему в любом из невозмущенных собственных состояний.

Вторым важным моментом является то, что два различных стационарных состояния будут иметь различные энергии (если только не равен нулю; в последнем случае требуется специальный разбор). Поэтому возмущающий потенциал будет обычно снимать вырождение.

4. Важные свойства приближенных решений.

Полученные приближенные решения обладают двумя важными свойствами:

1) Решения ортогональны. Для доказательства этого найдем

Из нормировки и ортогональности получаем

2) Матричные элементы оператора между состояниями и равны нулю. Для доказательства этого определим

В нашем случае предполагалось, что Также и но так как мы предполагали, что то вещественное число и Отсюда можно заключить, что

Такой же результат получается и в более общем случае, когда не равны, а также когда

Задача 3. Доказать это утверждение.

5. Более высокие приближения.

Теперь можно непосредственно перейти к более высоким порядкам приближений. Вместо того чтобы разлагать произвольную волновую функцию в ряд по можно пользоваться функциями которые должны получиться при решении уравнений (19.1а) и (19.16) для каждой группы вырожденных уровней. Так как нормированы и ортогональны, то можно воспользоваться теми же рассуждениями, что и для Но теперь матричные элементы между функциями соответствующими той же невозмущенной энергии, равны нулю. Таким образом, когда мы проводим решение для первого приближения волновых функций (уравнение (18.117)), то будут осуществляться только переходы к невырожденным уровням, а потому будет справедлива теория возмущений. Далее, в более высоких приближениях снятие вырождения в нулевом приближении будет означать, что больше не происходит необратимых процессов (с сохранением энергии). Это гарантирует, что малые возмущения создают соответственно малые изменения волновой функции в течение произвольно большого интервала времени, и потому законно применение теории возмущений.

6. Случай более чем двукратно вырожденных уровней.

Если имеются более чем двукратно вырожденные уровни, то расчет ведется тем же способом. В уравнении (18.114) мы начинаем с рассмотрения только тех С, которые соответствуют данной системе вырожденных уровней. Обозначим С через и пусть будет их общая невозмущенная энергия. Тогда уравнения принимают вид

где полное число вырожденных уровней. Эти уравнения аналогичны системе уравнений (18.114) с тем исключением, что здесь мы рассматриваем лишь конечное число уравнений с конечным числом неизвестных. Условие разрешимости этих уравнений имеет вид:

Детерминант (19.8) представляет собой уравнение порядка; поэтому оно в общем случае имеет корней. Эти корни соответствуют возможным энергиям нулевого порядка. Каждый корень приводит к различным решениям. Следовательно, мы будем иметь решений, 5-е решение можно записать в виде

Покажем теперь, что элементы матрицы оператора XV между любыми двумя состояниями равны нулю, т. е.

Для вычисления этого интеграла используем выражения определяемые уравнением (19.9). В результате получаем

Воспользуемся теперь уравнением (19.7), которое для решения дает

Интеграл в уравнении (19.10а) тогда равен

Но в уравнении (19.106) мы могли бы суммировать по раньше, чем по используя соотношение тогда

Приравнивая две суммы, получаем

В общем случае поэтому вырождение снимается. Если это так, то

и из уравнений (19.10а) и (19.12) имеем

что мы и хотели доказать.

Ортогональность функций Мы хотим также показать, что различные ортогональны. Рассмотрим интеграл

(вследствие нормировки и ортогональности функций

Но по уравнению (19.13а) последнее выражение равно нулю, если следовательно, ортогональны.

7. Общее решение для приближений высших порядков.

Так как величины являются линейными комбинациями от и так как существует столько же независимых значений сколько и и, то можно разложить произвольную функцию по Поскольку также и ортогональны, то процедура разложения такая же, как для . И наконец, так как отсутствуют матричные элементы V между принадлежащие той же невозмущенной энергии, то теорией возмущений можно пользоваться так же, как было описано для двукратно вырожденных уровней.

8. Решение, зависящее от времени, для частного случая двукратно вырожденных уровней.

Весьма поучительно показать, как изменяется волновая функция со временем, когда существует вырождение. Здесь мы рассмотрим частный случай двукратно вырожденных уровней. (Так как переходы между невырожденными уров нями вызывают лишь малые изменения, то интересно рассмотреть лишь переходы между вырожденными уровнями в обоих направлениях.)

Рассмотрим случай, описываемый уравнениями (19.1а) и (19.16), в предположении, что

Предположим также для простоты, что Тогда две собственные функции имеют вид

Так как приближенно являются стационарными состояниями, то их изменение со временем можно найти, умножая каждую из этих величин соответственно на Тогда зависящая от времени волновая функция принимает вид

и

Предположим, что в момент волновая функция имеет вид Как раз такая задача решалась теорией возмущений в гл. 18, п. 3 для невырожденных уровней. Мы можем написать

Для того чтобы найти изменение со временем, нужно умножить и по отдельности на частоты, с которыми колеблется каждая из них, как это показано в уравнении (19.146). Тогда получаем

Исключим теперь в членах с и при помощи уравнений (19.14а):

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление